在正项数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1}=4$，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2S_{n}=S_{n+1}+n$．令 $b_{n}=\dfrac{2^{n-1}+1}{(3n-2)a_{n}}$．证明：对于任意 $n\in\mathbb N^{*}$，均有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2}<\dfrac{5}{12}$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $2S_{n}=S_{n+1}+n$，所以\[2S_{n-1}=S_{n}+n-1(n\geqslant 2),\]两式相减得：$2a_{n}=a_{n+1}+1(n\geqslant 2)$．所以 $a_{n+1}-1=2(a_{n}-1)$，故\[a_{n}-1=(a_{2}-1)\cdot 2^{n-2}=2^{n-1},\]因此 $a_{n}=2^{n-1}+1(n\geqslant 2)$．
所以 $b_{n}=\begin{cases}\dfrac{1}{2},&n=1,\\ \dfrac{1}{3n-2},n\geqslant 2.\end{cases}$
当 $n=1$ 时，$b_{n}^{2}=\dfrac{1}{4}<\dfrac{5}{12}$；
当 $n\geqslant 2$ 时，\[\begin{split}\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2}&=\dfrac{1}{4}+\sum_{i=2}^{n}\left(\dfrac{1}{3i-2}\right)^{2}\\&<\dfrac{1}{4}+\sum\limits_{i=2}^{n}\dfrac{1}{(3i-4)(3i-1)}\\&=\dfrac{1}{4}+\sum\limits_{i=2}^{n}b_{i}^{2}<\dfrac{5}{12}\end{split}\]
所以 $b_{n}=\begin{cases}\dfrac{1}{2},&n=1,\\ \dfrac{1}{3n-2},n\geqslant 2.\end{cases}$
当 $n=1$ 时，$b_{n}^{2}=\dfrac{1}{4}<\dfrac{5}{12}$；
当 $n\geqslant 2$ 时，\[\begin{split}\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2}&=\dfrac{1}{4}+\sum_{i=2}^{n}\left(\dfrac{1}{3i-2}\right)^{2}\\&<\dfrac{1}{4}+\sum\limits_{i=2}^{n}\dfrac{1}{(3i-4)(3i-1)}\\&=\dfrac{1}{4}+\sum\limits_{i=2}^{n}b_{i}^{2}<\dfrac{5}{12}\end{split}\]
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