设 $M$ 的坐标为 $\left( {x,y} \right)$，显然有 $x > 0$ 且 $y \ne 0$．
当 $\angle MBA = 90^\circ $ 时，点 $M$ 的坐标为 $\left( {2, \pm 3} \right)$．
当 $\angle MBA \ne 90^\circ $ 时，$x \ne 2$，由 $\angle MBA = 2\angle MAB$，有\[\tan \angle MBA = \dfrac{2\tan \angle MAB}{{1 - {{\tan }^2}\angle MAB}},\]即\[ - \dfrac{\left| y \right|}{x - 2} = \dfrac{{2\dfrac{\left| y \right|}{x + 1}}}{{1 - {{\left( {\dfrac{\left| y \right|}{x + 1}} \right)}^2}}}.\]化简可得\[3{x^2} - {y^2} - 3 = 0.\]而点 $\left( {2, \pm 3} \right)$ 在曲线 $3{x^2} - {y^2} - 3 = 0$ 上．
综上可知，轨迹 $C$ 的方程为\[3{x^2} - {y^2} - 3 = 0\left( {x > 1} \right).\]

由\[ \begin{cases}
y = - 2x + m, \\
3{x^2} - {y^2} - 3 = 0 \\
\end{cases} \]消去 $y$，可得\[{x^2} - 4mx + {m^2} + 3 = 0.\left( * \right)\]由题意，方程 $ \left( * \right) $ 有两根且均在 $\left( {1, + \infty } \right)$ 内，
设 $f\left( x \right) = {x^2} - 4mx + {m^2} + 3$，所以\[ \begin{cases}
- \dfrac{ - 4m}{2} > 1, \\
f\left( 1 \right) = {1^2} - 4m + {m^2} + 3 > 0, \\
\Delta = {\left( { - 4m} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + 3} \right) > 0. \\
\end{cases} \]解得，$m > 1$ 且 $m \ne 2$．
设 $Q,R$ 的坐标分别为 $\left( {{x_Q},{y_Q}} \right),\left( {{x_R},{y_R}} \right)$，由 $\left| {PQ} \right| < \left| {PR} \right|$ 有\[\begin{split}{x_R} &= 2m + \sqrt {3\left( {{m^2} - 1} \right)} ,\\ {x_Q} &= 2m - \sqrt {3\left( {{m^2} - 1} \right)}, \end{split}\]所以\[\begin{split} \dfrac{{\left| {PR} \right|}}{{\left| {PQ} \right|}}& = \dfrac{x_R}{x_Q}\\ &= \dfrac{{2m + \sqrt {3\left( {{m^2} - 1} \right)} }}{{2m - \sqrt {3\left( {{m^2} - 1} \right)} }}\\ &= \dfrac{{2 + \sqrt {3\left( {1 - \dfrac{1}{m^2}} \right)} }}{{2 - \sqrt {3\left( {1 - \dfrac{1}{m^2}} \right)} }}\\& = - 1 + \dfrac{4}{{2 - \sqrt {3\left( {1 - \dfrac{1}{m^2}} \right)} }}.\end{split}\]由 $m > 1$ 且 $m \ne 2$ 有\[1 < - 1 + \dfrac{4}{{2 - \sqrt {3\left( {1 - \dfrac{1}{m^2}} \right)} }} < 7 + 4\sqrt 3 ,\]且\[- 1 + \dfrac{4}{{2 - \sqrt {3\left( {1 - \dfrac{1}{m^2}} \right)} }} \ne 7.\]所以 $\dfrac{{\left| {PR} \right|}}{{\left| {PQ} \right|}}$ 的取值范围是 $\left( {1,7} \right) \cup \left( {7,7 + 4\sqrt 3 } \right)$．