在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\sin B\left(\tan A + \tan C\right) = \tan A\tan C$．
【难度】
【出处】
2012年高考山东卷（文）
【标注】
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求证：$a$，$ b$，$ c$ 成等比数列；标注答案解析对已知等式两边同乘以 $\cos A \cos C$，化简可得：\[\begin{split} \sin A\sin C & =\sin B\left(\sin A\cos C + \cos A\sin C\right) \\& = \sin B\sin \left(A + C\right) \\& = {\sin ^2}B, \end{split}\]再由正弦定理可得：\[{b^2} = ac,\]所以 $a$，$b$，$c$ 成等比数列．
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若 $a = 1 $，$ c = 2$，求 $\triangle ABC$ 的面积 $S$．标注答案解析若 $a = 1$，$c = 2$，则 ${b^2} = ac = 2$，因此可得出\[\begin{split} \cos B &= \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2ac} = \dfrac{3}{4},\\
\sin B &= \sqrt {1 - {{\cos }^2}B} = \frac{\sqrt 7 }{4},\end{split}\]$\therefore$ $\triangle ABC$ 的面积\[\begin{split}S& = \frac{1}{2}ac\sin B\\& = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \frac{\sqrt 7 }{4} \\&= \frac{\sqrt 7 }{4}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
