已知实数 $x,y$ 满足 $2^{x+1}+2^{y+1}=4^{x}+4^{y}$．求 $M=8^{x}+8^{y}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$(8,16]$
【解析】
由 $2^{x+1}+2^{y+1}=4^{x}+4^{y}$，得\[(2^{x}-1)^{2}+(2^{y}-1)^{2}=2,\]令 $a=2^{x}$，$b=2^{y}$，则\[(a-1)^{2}+(b-1)^{2}=2,\]又令 $t=a+b$，则 $t\in[2,4]$，且 $ab=\dfrac{t^{2}-2t}{2}$，\[\begin{split}M&=a^{3}+b^{3}\\&=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\\&=(a+b)\left[(a+b)^{2}-3ab\right]\\&=-\dfrac{1}{2}t^{3}+3t^{2}.\end{split}\]所以\[M'=-\dfrac{3}{2}t^{2}+6t=-\dfrac{3}{2}t(t-4)\geqslant 0,\]即 $M=-\dfrac{1}{2}t^{3}+3t^{2},t\in(2,4]$ 为增函数，所以 $M$ 的取值范围是 $(8,16]$．
答案
解析
备注
