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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25518 5992a7cf1a9d9c0008297845 高中 解答题 自招竞赛 若 $x>0,y>0,z>0$，且 $xyz=1$，求证：$$1<\dfrac 1{1+x}+\dfrac 1{1+y}+\dfrac 1{1+z}<2.$$ 2022-04-17 20:42:46
25517 5992a7cf1a9d9c0008297846 高中 解答题 自招竞赛 设点 $K,L,M,N$ 分别为四面体 $ABCD$ 的棱 $AB,BC,CD,DA$ 上的点，若 $K,L,M,N$ 四点共面，且 $\dfrac {AN}{AD}=\dfrac {BL}{BC}$，求证：$\dfrac {DM}{MC}=\dfrac {AK}{KB}$． 2022-04-17 20:41:46
25516 5992a7cf1a9d9c0008297847 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx$ 满足：
① $a,b,c,d$ 均大于 $0$；
② 对于任意 $x\in \{-2,-1,0,1,2\},f(x)$ 均为正整数；
③ $f(1)=1,f(5)=70$．
试判断，对于每个整数 $x,f(x)$ 是否为整数，并对你的结论给出论证．		 2022-04-17 20:40:46
25515 59915e5c3949210008597254 高中 解答题 自招竞赛 求证：任一正整数 $N$ 均可表示为 $pq + uv$ 的形式，其中 $u - v = 2(p-q)$，这里 $p,q,u,v \in \mathbb Z$． 2022-04-17 20:40:46
25514 59915e5c3949210008597256 高中 解答题 自招竞赛 如图，过椭圆 $a x^2 +b y^2 = 1 (b>a>0)$ 中心 $O$ 的直线 $l_{1}$、$l_{2}$ 分别交椭圆于点 $A$、$E$、$B$、$G$ 四点，且直线 $l_{1}$、$l_{2}$ 的斜率之积是 $-\dfrac{a}{b}$，过点 $A$、$B$ 作两条平行线 $l_{3}$、$l_{4}$，设 $l_{2}\cap l_{3} = M$，$l_{1}\cap l_{4} = N$，且 $CD \cap MN=P$，求证：$OP \parallel l_{3}$． 2022-04-17 20:39:46
25513 592e7533802023000a9968ce 初中 解答题 其他 已知抛物线 $y=- mx^2+4x+2m$ 与 $x$ 轴交于点 $A\left(\alpha ,0\right)$，$B\left(\beta ,0\right)$，且 $\dfrac{1}{\alpha }+\dfrac{1}{\beta }=-2$． 2022-04-17 20:38:46
25512 59915e5c3949210008597257 高中 解答题 自招竞赛 求由数字 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$ 构成的且含有 $1$、$6$ 相邻的 $n$ 位数的个数． 2022-04-17 20:38:46
25511 59915f233949210009ac4cd4 高中 解答题 自招竞赛 已知正三角形 $ABC$ 内接于抛物线 $x=y^2$，$\triangle ABC$ 的重心 $P$ 落在双曲线 $xy=1$ 上，求点 $P$ 的坐标． 2022-04-17 20:37:46
25510 59915f233949210009ac4cd3 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x) = x +\dfrac{1}{x} - \sqrt{2}$，证明：对任意 $x \in \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right]$ 有$$\dfrac{\sqrt{2}}{2} < f(f(x)) <x.$$ 2022-04-17 20:36:46
25509 594398f2a26d28000bb86e65 初中 解答题 其他 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x^2-\dfrac{2\sqrt 3}{3}x-\sqrt 3$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，对称轴于 $x$ 轴交于点 $D$，点 $E\left(4,\dfrac{5\sqrt 3}{3}\right)$ 在抛物线上，点 $P$ 为直线 $CE$ 下方抛物线上的一点，连接 $PC,PE$，当 $\triangle PCE$ 的面积最大时，连接 $CD,CB$，点 $K$ 是线段 $CB$ 的中点，点 $M$ 是 $CP$ 上的一点，点 $N$ 是 $CD$ 上的一点，求 $KM+MN+NK$ 的最小值． 2022-04-17 20:36:46
25508 590996cd38b6b400091f001f 高中 解答题 自招竞赛 对于任意给定的无理数 $a,b$ 及实数 $r>0$，证明：圆周 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上至多有两个有理点（指横纵坐标均为有理数的点）． 2022-04-17 20:35:46
25507 59916399394921000859727f 高中 解答题 自招竞赛 从集合 $M = \{1,2,\cdots,36\}$ 中删去 $n$ 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是 $2015$ 的因 数，求 $n$ 的最小值． 2022-04-17 20:35:46
25506 59479088a26d280008874abe 初中 解答题 其他 如图，直线 $y=\dfrac 34x+3$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于点 $A,B$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$ 与 $y$ 轴交于点 $C$． 2022-04-17 20:34:46
25505 599164303949210007386573 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x) = {\rm e}^x -ax -a.$ 2022-04-17 20:34:46
25504 599164303949210007386574 高中 解答题 自招竞赛 已知：如图，两圆交于 $A$、$B$ 两点，$CD$ 为一条外公切线，切点分别为 $C$、$D$．过 $A$ 任意做一条直线分别交两圆于 $E$、$F$，$EC$ 交 $FD$ 于点 $P$．
求证：$PB$ 平分 $\angle EBF.$		 2022-04-17 20:34:46
25503 591ab7401f7ee1000ad49860 初中 解答题 其他 在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2-2x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点（$A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，顶点为 $D$． 2022-04-17 20:33:46
25502 599164303949210007386571 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$、$B$、$C$ 对边的边长分别是 $a$，$b$，$c$，向量 $\overrightarrow {p} = (\sin A +\sin C,\sin B).$ 向量 $\overrightarrow {q} = (a-c,b-a)$ 且满足 $\overrightarrow {p} \perp \overrightarrow {q}$． 2022-04-17 20:33:46
25501 599164303949210007386572 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1} = 2$，$a_{n+1} = a_{n}^2 +2a_{n}.$ 2022-04-17 20:32:46
25500 599164303949210007386576 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{2} +y^2 =1$ 及点 $P\left(1,\dfrac{1}{2}\right)$，过点 $P$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$、$B$ 两点，过 $A$、$B$ 两点分别作 $C$ 的切线交于 $Q$． 2022-04-17 20:32:46
25499 591ab6121f7ee1000ad4985d 初中 解答题 其他 如图，抛物线 $y=ax^2+bx-4$（$a\ne 0$）与 $x$ 轴交于 $A(4,0),B(-1,0)$ 两点，过点 $A$ 的直线 $y=-x+4$ 交抛物线于点 $C$． 2022-04-17 20:31:46
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