若 $x>0,y>0,z>0$，且 $xyz=1$，求证：$$1<\dfrac 1{1+x}+\dfrac 1{1+y}+\dfrac 1{1+z}<2.$$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
任取 $a>0$．令 $b=ax,c=by$，由 $xyz=1$，得$$x=\dfrac ba,y=\dfrac cb,z=\dfrac ac,$$从而有\[\begin{split}\dfrac 1{1+x}+\dfrac 1{1+y}+\dfrac 1{1+z}&=\dfrac a{a+b}+\dfrac b{b+c}+\dfrac c{a+c}\\&>\dfrac a{a+b+c}+\dfrac b{a+b+c} +\dfrac c{a+b+c} \\&=1. \end{split}\]又因为\[\begin{split}\dfrac a{a+b}+\dfrac b{b+c}+\dfrac c{a+c}&< \dfrac {a+c}{a+b+c}+\dfrac {a+b}{a+b+c} +\dfrac {b+c}{a+b+c}\\&=2. \end{split}\]所以 $1<\dfrac 1{1+x}+\dfrac 1{1+y}+\dfrac 1{1+z}<2$．
答案
解析
备注
