已知正三角形 $ABC$ 内接于抛物线 $x=y^2$，$\triangle ABC$ 的重心 $P$ 落在双曲线 $xy=1$ 上，求点 $P$ 的坐标．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
点 $P$ 的坐标为 $\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$
【解析】
设 $A(y_{1}^2,y_{1})$、$B(y_{2}^2,y_{2})$、$C(y_{3}^2,y_{3})$，$AB$ 和 $BC$ 的中点分别为 $F$ 和 $D$，则 $\triangle ABC$ 是正三角形当且仅当 $y_{1}$、$y_{2}$、$y_{3}$ 互不相等，且 $AD \perp BC$，$CF \perp AB$．而点 $D$ 的坐标为 $\left (\dfrac{y_{2}^2+y_{3}^2}{2},\dfrac{y_{2}+y_{3}}{2} \right)$，故由 $AD \perp BC$ 得$$(y_{2}^2 - y_{3}^2) \left(\dfrac{y_{2}^2+ y_{3}^2}{2} - y_{1}^2\right) +(y_{2} - y_{3})\left(\dfrac{y_{2} + y_{3}}{2} - y_{1}\right) = 0, $$再由 $y_{2} \ne y_{3}$ 得$$(y_{2}+ y_{3})(y_{2}^2+ y_{3}^2 -2y_{1}^2) + (y_{2} +y_{3}-2y_{1}) = 0.$$同理由 $CF \perp AB$ 得$$(y_{1}+ y_{2})(y_{1}^2+ y_{2}^2 -2y_{3}^2) + (y_{1} +y_{2}-2y_{3}) = 0.$$上式两式相减，得$$(y_{3}^3- y_{1}^3) + 3y_{2} (y_{3}^2 - y_{1}^2) + (y_{3} - y_{1})(y_{2}^2+ 2y_{1}y_{3}) +3(y_{3} -y_{1}) = 0,$$再由 $y_{1} \ne y_{3}$，将上式整理化简得$$(y_{1}^2+y_{2}^2+y_{3}^2) + 3(y_{1}y_{2} +y_{2}y_{3} +y_{3}y_{1}) +3 = 0.$$设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $x = \dfrac{y_{1}^2+y_{2}^2+y_{3}^2}{3}$，$y = \dfrac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}$，故由上式得$$ 3x+3 \cdot \dfrac{9y^{2} - 3x}{2} +3 = 0,$$整理化简得$$9y^{2} - x +2 =0.$$又由 $xy=1$ 得 $y=\dfrac{1}{x}$，代入上式整理化简得方程 $x^{3} - 2x^{2} -9=0.$
因为 $x^{3} - 2x^{2} -9=(x-3)(x^{2} +x +3)$，所以方程 $x^{3} - 2x^{2} -9=0$ 只有一个实根 $x=3.$ 因此，点 $P$ 的坐标为 $\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$．
因为 $x^{3} - 2x^{2} -9=(x-3)(x^{2} +x +3)$，所以方程 $x^{3} - 2x^{2} -9=0$ 只有一个实根 $x=3.$ 因此，点 $P$ 的坐标为 $\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$．
答案
解析
备注
