在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$、$B$、$C$ 对边的边长分别是 $a$，$b$，$c$，向量 $\overrightarrow {p} = (\sin A +\sin C,\sin B).$ 向量 $\overrightarrow {q} = (a-c,b-a)$ 且满足 $\overrightarrow {p} \perp \overrightarrow {q}$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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求 $\triangle ABC$ 的内角 $C$ 的值；标注答案$\dfrac{\pi}{3}$解析由题意 $\overrightarrow { p } \perp \overrightarrow { q }$，所以$$(a - c)(\sin A +\sin C) +(b-a)\sin B = 0.$$由正弦定理，可得 $(a - c)(a + c) +(b - a)b = 0.$
整理得 $a^2 -c^2 +b^2=ab.$
由余弦定理可得，$\cos C = \dfrac{a^2 +b^2 -c^2}{2ab} = \dfrac{1}{2}$，又 $C\in (0,\pi)$，所以，$C = \dfrac{\pi}{3}$． -
若 $c=2$，$2 \sin 2A + \sin (2B +C) = \sin C$，求 $\triangle ABC $ 的面积．标注答案$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$解析由 $2\sin 2A +\sin (2B+C) = \sin C$ 可得，$$4\sin A \cos A +\sin (B+\pi -A)=\sin (B+A).$$整理得，$4\sin A \cos A=\sin (B+A) +\sin (B-A) =2 \sin B \cos A$．
当 $\cos A =0$ 时，$A=\dfrac{\pi}{2} $，此时，$b = 2\cot \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $，所以 $\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} bc=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$．
当 $\cos A\ne 0$ 时，上式即为 $\sin B =2\sin A$，由正弦定理可得 $b=2a$，又
$a^2 +b^2 -ab =4$，解之得，$a= \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，$b =\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$．所以 $\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} ab\sin C=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$．
综上所述，$\triangle ABC$ 的面积$$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} ab\sin C=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
