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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25538 5992a1e577d145000c798c4b 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}(a_n\geqslant 0)$ 满足 $a_1=0,a_2=1,a_3=9$，且$$S_n^2S_{n-2}=10S_{n-1}^3(n>3),$$其中 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，求 $a_n(n\geqslant 3)$ 的表达式． 2022-04-17 20:53:46
25537 5992a1e577d145000c798c4c 高中 解答题 自招竞赛 如图，锐角 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，直线 $BO$ 和 $CO$ 分别与边 $AC,AB$ 交于点 $B',C'$，直线 $B'C'$ 交 $\triangle ABC$ 的外接圆于点 $P,Q$，且 $AP=AQ$．求证：$\triangle ABC$ 是等腰三角形． 2022-04-17 20:52:46
25536 599a76d9fcc07b0009bbd25d 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$，右焦点为 $F(c,0)$，且 $2b,a,c$ 成等比数列． 2022-04-17 20:52:46
25535 599a777efcc07b0009bbd262 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$，右焦点为 $F(c,0)$，且 $2b,a,c$ 成等比数列． 2022-04-17 20:51:46
25534 591cff1c1f7ee1000ad4989c 初中 解答题 其他 如图，已知抛物线 $y=-\dfrac{1}{m}\left(x+2\right)\left(x-m\right)(m>0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A,B$，与 $y$ 轴相交于点 $C$，且点 $A$ 在点 $B$ 的左侧． 2022-04-17 20:51:46
25533 599a7f5cfcc07b000841f726 高中 解答题 自招竞赛 如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面 $\alpha $ 内作菱形 $ABCD$，边长为 $1$，$\angle BAD=60^\circ$，再在 $\alpha$ 的上方，分别以 $\triangle ABD$ 与 $\triangle CBD$ 为底面安装上相同的正棱锥 $P-ABD$ 与 $Q-CBD$，已知 $\angle APB=90^\circ$． 2022-04-17 20:50:46
25532 5992a4be1a9d9c000a85686e 高中 解答题 自招竞赛 已知长度为 $6$ 的线段 $CD$ 的中点为 $M$，现以 $CD$ 为一边在同一侧作两个周长均为 $16$ 的 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$，且满足 $\angle AMB=90^\circ$，求 $\triangle AMB$ 面积的最小值． 2022-04-17 20:50:46
25531 599a7fc4fcc07b0009bbd26f 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=x^2+ax+b$（其中 $a,b$ 为实常数），已知不等式 $|f(x)|\leqslant |2x^2+4x-30|$ 对任意实数 $x$ 均成立，定义数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 为：$a_1=\dfrac 12,2a_n=f(a_{n-1})+15(n=2,3,4,\cdots ),b_n=\dfrac 1{2+a_n}(n=1,2,3,\cdots )$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_n$，其前 $n$ 项的乘积记为 $T_n$． 2022-04-17 20:50:46
25530 5992a4be1a9d9c000a856871 高中 解答题 自招竞赛 已知正数 $a,b,c$ 满足：$2a+4b+7c\leqslant 2abc$，求 $a+b+c$ 的最小值． 2022-04-17 20:49:46
25529 59152fa51edfe2000ade9906 初中 解答题 其他 如图，已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的对称轴为直线 $x=-1$，且经过 $A\left(1,0\right),C\left(0,3\right)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $B$． 2022-04-17 20:49:46
25528 591e69112af8a30007b155ec 初中 解答题 其他 如图，已知抛物线 $y=ax^2+bx+c\left(a\neq 0\right)$ 的对称轴为直线 $x=-1$，且抛物线经过 $A\left(1,0\right),C\left(0,3\right)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $B$．直线 $y=mx+n$ 经过 $B,C$ 两点． 2022-04-17 20:48:46
25527 590c326d857b420007d3e52e 高中 解答题 自招竞赛 设直线 $l$：$y = k\left( {x + 1} \right)$ 与椭圆 ${x^2} + 3{y^2} = {a^2}$（$a > 0$）相交于 $A$、$B$ 两个不同的点，与 $x$ 轴相交于点 $C$，记 $O$ 为坐标原点． 2022-04-17 20:47:46
25526 5992a4be1a9d9c000a856870 高中 解答题 自招竞赛 在四维空间中，定义点 $A(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 与点 $B(b_1,b_2,b_3,b_4)$ 之间的距离为 $\displaystyle AB=\sqrt {\sum \limits_{i=1}^4(a_i-b_i)^2}$，考察点集$$I=\{P(c_1,c_2,c_3,c_4)|c_i=0\text{或}1,i=1,2,3,4\},$$如果对 $I$ 的任意一个 $n$ 元子集 $Q=\{P_1,P_2,\cdots ,P_n\}$，都能找到 $P_i,P_j,P_k\in Q$，使得 $\triangle P_iP_jP_k$ 为正三角形，即 $P_iP_j=P_jP_k=P_kP_i$，求 $n$ 的最小值． 2022-04-17 20:47:46
25525 5924fac682e8bd0007791ffe 初中 解答题 其他 如图，抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A\left(1,0\right),B\left(4,0\right),C\left(0,3\right)$ 三点． 2022-04-17 20:47:46
25524 599a8ba8fcc07b00078f75e6 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $C:y=ax^2(a>0)$，直线 $y=x+2$ 交抛物线 $C$ 于 $A,B$ 两点，$M$ 是线段 $AB$ 的中点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线 $C$ 于点 $N$． 2022-04-17 20:46:46
25523 599a8bfbfcc07b000a695d28 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知锐角 $\triangle ABC$ 的外接圆半径 $R=1,\angle BAC=60^\circ,\triangle ABC$ 的垂心和外心分别为 $H$ 和 $O$，连接 $OH$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $P$． 2022-04-17 20:45:46
25522 592932a4eab1df0007bb8c47 初中 解答题 其他 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $\odot M$ 相交于 $A,B,C,D$ 四点．其中 $A,B$ 两点的坐标分别为 $\left(-1,0\right),\left(0,-2\right)$，点 $D$ 在 $x$ 轴上且 $AD$ 为 $\odot M$ 的直径．点 $E$ 是 $\odot M$ 与 $y$ 轴的另一个交点，过劣弧 $\overparen{ED}$ 上的点 $F$ 作 $FH\perp AD$ 于点 $H$，且 $FH=1.5$． 2022-04-17 20:45:46
25521 599a8fbbfcc07b00078f75ee 高中 解答题 高中习题 设 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 为椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为椭圆上任意一点，直线 $PF_1,PF_2$ 分别交椭圆于异于 $P$ 的点 $A,B$，若 $\overrightarrow {PF_1}=\lambda \overrightarrow {F_1A}$，$\overrightarrow {PF_2}=\mu\overrightarrow {F_2B}$，求证：$\lambda +\mu=2\cdot\dfrac {a^2+c^2}{a^2-c^2}$． 2022-04-17 20:44:46
25520 592e2cb1eab1df000ab6ebac 初中 解答题 其他 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\dfrac23x^2-\dfrac43x+2$ 与 $x$ 轴交于 $B,C$ 两点（点 $B$ 在点 $C$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $A$，抛物线的顶点为 $D$，点 $P$ 是线段 $BC$ 上的动点（点 $P$ 不与点 $B,C$ 重合）． 2022-04-17 20:43:46
25519 599a9379fcc07b000a695d3a 高中 解答题 自招竞赛 $F(1,0)$ 为一定点，$P(0,b)$ 是 $y$ 轴上的一动点，点 $M(a,0)$ 满足 $\overrightarrow {PM}\cdot \overrightarrow {PF}=0$．若点 $N$ 满足 $2\overrightarrow {PN}+\overrightarrow {NM}=\overrightarrow0$． 2022-04-17 20:43:46
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