设点 $K,L,M,N$ 分别为四面体 $ABCD$ 的棱 $AB,BC,CD,DA$ 上的点，若 $K,L,M,N$ 四点共面，且 $\dfrac {AN}{AD}=\dfrac {BL}{BC}$，求证：$\dfrac {DM}{MC}=\dfrac {AK}{KB}$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $AC$ 所在直线为 $l$，$K$、$L$、$M$、$N$ 四点共面 $\alpha $．
若 $l\parallel \alpha$，如图 $1$．因为 $\dfrac {AN}{AD}=\dfrac {BL}{BC}$，所以 $\dfrac {DN}{NA}=\dfrac {CL}{LB}$．又因为 $l\parallel \alpha $，所以 $MN\parallel l,KL\parallel l$，易得$$\dfrac {DM}{MC}=\dfrac {DN}{NA},\dfrac {AK}{KB}=\dfrac {CL}{LB},$$因此 $\dfrac {DM}{MC}=\dfrac {AK}{KB}$．若 $l$ 与 $\alpha $ 不平行，设 $l\cap \alpha =P$，如图 $2$，则点 $P$ 既在直线 $KL$ 上，也在直线 $MN$ 上．在 $l$ 上取点 $Q$，使$$\dfrac {AQ}{AC}=\dfrac {AN}{AD}=\dfrac {BL}{BC},$$连接 $LQ$ 和 $NQ$，则 $LQ\parallel AB,NQ\parallel CD$，显然有$$\dfrac {DM}{MC}=\dfrac {AK}{KB}\Leftrightarrow \dfrac {MC}{DC}=\dfrac {KB}{AB},$$而$$\dfrac {MC}{DC}=\dfrac {MC}{NQ}\cdot \dfrac {NQ}{DC}=\dfrac {PC}{PQ}\cdot \dfrac {AQ}{AC},$$则\[\begin{split}\dfrac {KB}{AB}&=1-\dfrac {AK}{AB}\\&=1-\dfrac {AK}{QL}\cdot \dfrac {QL}{AB}\\&=1-\dfrac {AP}{PQ}\cdot \dfrac {QC}{AC}\\&=\dfrac 1{PQ\cdot AC}(PQ\cdot AC-AP\cdot QC)\\&=\dfrac 1{PQ\cdot AC}[(PC+CQ)AC-(AC+CP)QC]\\&=\dfrac 1{PQ\cdot AC} (PC\cdot AC-PC\cdot QC)\\&=\dfrac {PC\cdot AQ}{PQ\cdot AC}\\&=\dfrac {MC}{DC}, \end{split}\]即 $\dfrac {DM}{MC}=\dfrac {AK}{KB}.$
若 $l\parallel \alpha$，如图 $1$．因为 $\dfrac {AN}{AD}=\dfrac {BL}{BC}$，所以 $\dfrac {DN}{NA}=\dfrac {CL}{LB}$．又因为 $l\parallel \alpha $，所以 $MN\parallel l,KL\parallel l$，易得$$\dfrac {DM}{MC}=\dfrac {DN}{NA},\dfrac {AK}{KB}=\dfrac {CL}{LB},$$因此 $\dfrac {DM}{MC}=\dfrac {AK}{KB}$．若 $l$ 与 $\alpha $ 不平行，设 $l\cap \alpha =P$，如图 $2$，则点 $P$ 既在直线 $KL$ 上，也在直线 $MN$ 上．在 $l$ 上取点 $Q$，使$$\dfrac {AQ}{AC}=\dfrac {AN}{AD}=\dfrac {BL}{BC},$$连接 $LQ$ 和 $NQ$，则 $LQ\parallel AB,NQ\parallel CD$，显然有$$\dfrac {DM}{MC}=\dfrac {AK}{KB}\Leftrightarrow \dfrac {MC}{DC}=\dfrac {KB}{AB},$$而$$\dfrac {MC}{DC}=\dfrac {MC}{NQ}\cdot \dfrac {NQ}{DC}=\dfrac {PC}{PQ}\cdot \dfrac {AQ}{AC},$$则\[\begin{split}\dfrac {KB}{AB}&=1-\dfrac {AK}{AB}\\&=1-\dfrac {AK}{QL}\cdot \dfrac {QL}{AB}\\&=1-\dfrac {AP}{PQ}\cdot \dfrac {QC}{AC}\\&=\dfrac 1{PQ\cdot AC}(PQ\cdot AC-AP\cdot QC)\\&=\dfrac 1{PQ\cdot AC}[(PC+CQ)AC-(AC+CP)QC]\\&=\dfrac 1{PQ\cdot AC} (PC\cdot AC-PC\cdot QC)\\&=\dfrac {PC\cdot AQ}{PQ\cdot AC}\\&=\dfrac {MC}{DC}, \end{split}\]即 $\dfrac {DM}{MC}=\dfrac {AK}{KB}.$
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