已知：如图，两圆交于 $A$、$B$ 两点，$CD$ 为一条外公切线，切点分别为 $C$、$D$．过 $A$ 任意做一条直线分别交两圆于 $E$、$F$，$EC$ 交 $FD$ 于点 $P$．
求证：$PB$ 平分 $\angle EBF.$
求证：$PB$ 平分 $\angle EBF.$
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，连结 $BA$、$BC$、$BD$，延长 $CD$．由 $A$、$B$、$E$、$C$ 共圆有 $\angle 1 = \angle CBA$，同理 $\angle 2 = \angle DBA$．又 $\angle 1 +\angle 2+ \angle EPF =180^\circ $，所以$$ \angle CBD + \angle CPD = \angle 1 +\angle 2 +\angle EPF=180^\circ .$$故 $P$、$C$、$B$、$D$ 四点共圆．
则 $\angle CBP =\angle 3=\angle 4=\angle DBF$（弦切角等于圆周角）．
同理 $\angle CBE =\angle 5 = \angle DBP.$
所以$$\angle EBP=\angle EBC +\angle PBC =\angle DBP +\angle FBD=\angle FBP,$$此即为 $PB$ 平分 $\angle EBF$．
则 $\angle CBP =\angle 3=\angle 4=\angle DBF$（弦切角等于圆周角）．
同理 $\angle CBE =\angle 5 = \angle DBP.$
所以$$\angle EBP=\angle EBC +\angle PBC =\angle DBP +\angle FBD=\angle FBP,$$此即为 $PB$ 平分 $\angle EBF$．
答案
解析
备注
