求证：任一正整数 $N$ 均可表示为 $pq + uv$ 的形式，其中 $u - v = 2(p-q)$，这里 $p,q,u,v \in \mathbb Z$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
若 $N$ 为偶数时，则设 $N = 2m ,m \in \mathbb Z$，于是$$N = 2m = (2m - 3) \times (-1) + 1 \times (4m - 3) .$$令 $p = 2m -3 ,q=-1 ,u = 4m - 3 ,v = 1$，则\[\begin{split} u - v &=4m - 3 - 1=2(2m - 2) \\&=2((2m - 3) - (-1)) \\&=2(p-q) . \end{split}\]若 $N$ 为奇数时，则设 $N = 2m + 1,m \in \mathbb Z$，于是$$N = 2m + 1 = (3m + 1) \times (1 - m) + 3m \times m.$$令 $p = 3m ,q = m ,u = 3m+1 ,v= 1-m,$ 显然 $p,q,u,v \in \mathbb Z$，则\[\begin{split} u- v &=3m + 1 - (1-m) = 4m \\ &=2(3m - m)=2(p-q). \end{split}\]故命题成立．
答案
解析
备注
