对于任意给定的无理数 $a,b$ 及实数 $r>0$，证明：圆周 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上至多有两个有理点（指横纵坐标均为有理数的点）．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法，若存在 $3$ 个有理点，设为 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，则线段 $AB$ 的中点 $M$ 必然为有理点，线段 $BC$ 的中点 $N$ 也为有理点，进而不难得到线段 $AB,BC$ 的垂直平分线方程必然均为有理系数的二元一次方程，因此它们的交点（即圆心）必然为有理点，与题中所给条件矛盾．因此圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上的有理点个数不超过 $2$．
下面给出 $2$ 个有理点的实例：$$x^2+y^2+(x+y)\cdot \sqrt 2=1+\sqrt 2.$$综上所述，圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上至多有两个有理点．
下面给出 $2$ 个有理点的实例：$$x^2+y^2+(x+y)\cdot \sqrt 2=1+\sqrt 2.$$综上所述，圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上至多有两个有理点．
答案
解析
备注
