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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25498 59916591394921000a50c597 高中 解答题 自招竞赛 若集合 $M=\{1,2,\cdots,200\}$ 的子集 $A$ 中的每个元素都可表为两个正整数（允许相同）的平方和，求这种子集 $A$ 中元素个数的最大值． 2022-04-17 20:31:46
25497 59916591394921000a50c595 高中 解答题 自招竞赛 给定圆 $P$：$x^{2} + y^2 = 2x$ 及抛物线 $S:y^2 = 4x$，过圆心 $P$ 作直线 $l$，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为 $A$、$B$、$C$、$D$，如果线段 $AB$、$BC$、$CD$ 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线 $l$ 的方程． 2022-04-17 20:30:46
25496 59916591394921000a50c596 高中 解答题 自招竞赛 如图 $A_{1}$、$B_{1}$、$C_{1}$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆 $\odot O$ 上的点，满足 $AA_{1}\parallel BB_{1} \parallel CC_{1}$，$P$ 是 $\odot O$ 上的任意一点，若直 $PA_{1}$ 交直线 $BC$ 于 $D$，$PB_{1}$ 交 $AC$ 于 $E$，$PC_{1}$ 交 $AB$ 于 $F$．证明：$D$、$E$、$F$ 三点共线． 2022-04-17 20:30:46
25495 591c06f11f7ee1000d788573 初中 解答题 其他 如图，直线 $y=-3x+3$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A,B$．抛物线 $y=a\left(x-2\right)^2+k$ 经过 $A,B$，并与 $x$ 轴交于另一点 $C$，其顶点为 $P$． 2022-04-17 20:29:46
25494 5991668ed2d7460008f2eeab 高中 解答题 自招竞赛 已知过点 $P(0,1)$ 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C:x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1$ 于 $A$、$B$ 两点． 2022-04-17 20:29:46
25493 5991668ed2d7460008f2eeac 高中 解答题 自招竞赛 如图，$I$、$D$ 分别为 $\triangle ABC$ 的内心、旁心，$BC$ 与圆 $I$、圆 $D$ 相切，切点分别为 $E$、$F$、$G$ 为 $AD$ 与 $BC$ 的交点．（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点．） 2022-04-17 20:28:46
25492 5991668ed2d7460008f2eead 高中 解答题 自招竞赛 在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形．求以点 $I(2015,7 \times 2015)$ 为内心且直角顶点在坐标原点 $O$ 的整点直角三角形 $OAB$ 的个数． 2022-04-17 20:28:46
25491 592e269ceab1df0007bb8cb9 高中 解答题 高考真题 实数列 $a_0,a_1,a_2,a_3,\cdots$，由下述等式定义 ${a_{n + 1}} = {2^n} - 3{a_n}$，$n=0,1,2,\cdots$． 2022-04-17 20:28:46
25490 59916771d2d7460008f2eedc 高中 解答题 自招竞赛 如图，直角三角形 $ABC$ 外接圆圆心为 $O$，$\angle C=90^\circ $，过 $C$ 作 $AB$ 的垂线，垂足为 $D$，作圆 $O_{1}$ 分别切弧 $\widehat { BC}$、边 $CD$、$DB$ 于 $E$、$F$、$G$，同样作圆 $O_{2}$ 分别切弧 $\widehat {AC}$、边 $CD$、$DA$ 相切，设圆 $O_{1}$ 的半径为 $r_{1}$，圆 $O_{2}$ 半径为 $r_{2}$，$\triangle ABC$ 内切圆半径为 $r$，证明：$r = \dfrac{r_{1} + r_{2}}{2}.$ 2022-04-17 20:27:46
25489 59916771d2d7460008f2eedd 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1}=1$，关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a_{n+1}\cos x +(2a_{n} +1) = 0$ 有唯一解． 2022-04-17 20:26:46
25488 59916771d2d7460008f2eede 高中 解答题 自招竞赛 设双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{4} - \dfrac{y^2}{5} =1 $ 的左右两个焦点分别为 $F_{1}$、$F_{2}$，$P$ 为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 的重心为 $G$，内心为 $I$． 2022-04-17 20:25:46
25487 59916985d2d7460007299375 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C_{1}:\dfrac{x^{2}}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，不过原点的直线 $l$ 和椭圆相交于两点 $A$、$B$． 2022-04-17 20:24:46
25486 59916985d2d7460007299376 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} =1$，$a_{n+1} = a_{n} +\dfrac{1}{a_{n}^2} (n \geqslant 2)$． 2022-04-17 20:24:46
25485 5992432c2d929c0008fba6f3 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$、$B$、$C$ 对边的边长分别是 $a$、$b$、$c$、已知 $c=2$，$C = \dfrac{\pi}{3}$． 2022-04-17 20:24:46
25484 59083e38060a050008e6227d 初中 解答题 真题 在 $\mathrm {Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^\circ$，$\tan \angle BAC=\dfrac 12$．若 $BC=6$，点 $D$ 在边 $AC$ 的三等分点处，将线段 $AD$ 绕点 $A$ 旋转，点 $E$ 始终为 $BD$ 中点，求线段 $CE$ 长度的最大值． 2022-04-17 20:23:46
25483 59083e8d060a05000a4a985d 初中 解答题 真题 以平面上一点 $O$ 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$，其中 $ \angle ABO=30^\circ$．如图，若 $BO=3\sqrt3$，点 $N$ 在线段 $OD$ 上，且 $NO=2$，点 $P$ 是线段 $AB$ 上的一个动点，在将 $\triangle AOB$ 绕点 $O$ 旋转的过程中，求线段 $PN$ 最小值和最大值． 2022-04-17 20:23:46
25482 59083f41060a05000a4a9865 初中 解答题 真题 已知，$\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$ 是等腰三角形，其中 $BA=BO=2$，$CD=CO=3$，$\angle ABO=\angle DCO$．连接 $AD,BC$，点 $M,N$ 分别为 $OA,BC$ 的中点．若固定 $\triangle AOB$，将 $\triangle COD$ 绕点 $O$ 旋转，求 $MN$ 的最大值． 2022-04-17 20:22:46
25481 5992432c2d929c0008fba6f4 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $G:\dfrac{x^{2}}{4} +y^2 = 1$，直线 $l$ 交椭圆 $G$ 于 $A$、$B$ 两点，且 $\lvert AB \rvert = 2$，判断直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^2 =1$ 的位置关系，并给出证明． 2022-04-17 20:21:46
25480 5992432c2d929c0008fba6f5 高中 解答题 自招竞赛 已知不等式 $\ln x - a \left(1 - \dfrac{1}{x} \right ) \geqslant 0$ 对任意的 $x \geqslant 1$ 均成立，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:20:46
25479 599bf1832a2e94000a5948b8 高中 解答题 高中习题 求函数 $y={\dfrac{{\sqrt{x}}+x^5+\sin x}{x^2}}$ 的导数． 2022-04-17 20:19:46
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