从集合 $M = \{1,2,\cdots,36\}$ 中删去 $n$ 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是 $2015$ 的因 数，求 $n$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$17$
【解析】
因为 $2015 = 5 \times 13 \times 31$，$M$ 中任两个元素之和不大于 $71$，由于 $2015$ 不大于 $71$ 的正因数有 $1$、$5$、$13$、$31$、$65$，所以在 $M$ 的二元子集中，元素和为 $5$ 的有 $\{1,4\},\{2,3\}$；
元素和为 $13$ 的有 $\{1,12\},\{2,11\},\{3,10\},\{4,9\},\{5,8\},\{6,7\}$；
元素和为 $31$ 的有 $\{1,30\},\{2,29\},\{3,28\},\{4,27\},\{5,26\},\{6,25\},\cdots ,\{15,16\}$；
元素和为 $65$ 的有 $\{29,36\},\{30,35\},\{31,34\},\{32,33\}$．
为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两段的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数．于是在图 $(A)$、$(B)$ 中各至少要删去 $4$ 个数，图 $(C)$、$(D)$ 中各至少要删去 $2$ 个数，图 $(E)$ 中至少要删去 $5$ 个数，总共至少要删去 $17$ 个数．
另一方面，删去适当的 $17$ 个数，可以使得余下的数满足条件；例如在图 $(A)$ 中删去 $12$、$30$、$4$、$22$，图 $(B)$ 中删去 $11$、$29$、$3$、$21$，图 $(C)$ 中删去 $23$、$5$，在 $(D)$ 中删去 $24$、$6$，在 $(E)$ 中删去 $13$、$14$、$15$、$31$、$32$．这时图中所有的线段都已被断开．
综上可得，$n$ 的最小值为 $17$．
元素和为 $13$ 的有 $\{1,12\},\{2,11\},\{3,10\},\{4,9\},\{5,8\},\{6,7\}$；
元素和为 $31$ 的有 $\{1,30\},\{2,29\},\{3,28\},\{4,27\},\{5,26\},\{6,25\},\cdots ,\{15,16\}$；
元素和为 $65$ 的有 $\{29,36\},\{30,35\},\{31,34\},\{32,33\}$．
为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两段的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数．于是在图 $(A)$、$(B)$ 中各至少要删去 $4$ 个数，图 $(C)$、$(D)$ 中各至少要删去 $2$ 个数，图 $(E)$ 中至少要删去 $5$ 个数，总共至少要删去 $17$ 个数．
另一方面，删去适当的 $17$ 个数，可以使得余下的数满足条件；例如在图 $(A)$ 中删去 $12$、$30$、$4$、$22$，图 $(B)$ 中删去 $11$、$29$、$3$、$21$，图 $(C)$ 中删去 $23$、$5$，在 $(D)$ 中删去 $24$、$6$，在 $(E)$ 中删去 $13$、$14$、$15$、$31$、$32$．这时图中所有的线段都已被断开．
综上可得，$n$ 的最小值为 $17$．
答案
解析
备注
