2008年全国高中数学联赛山东省预赛

略

因为\[\begin{split} &f(1)=a+b+c+d,\\&f(-1)=a-b+c-d. \end{split}\]可知\[\begin{split}f(1)+f(-1)&=2a+2c,\\f(1)-f(-1)&=2b+2d, \end{split}\]所以 $2a+2c,2b+2d$ 均为整数．
因为\[\begin{split}&f(2)=16a+8b+4c+2d,\\&f(-2)=16a-8b+4c-2d, \end{split}\]可知\[\begin{split} &f(2)+f(-2)=32a+8c,\\&f(2)-f(-2)=16b+4d, \end{split}\]所以 $32a+8c,16b+4d$ 均为整数，又因为\[\begin{split}&32a+8c-4(2a+2c)=24a,\\&16(2a+2c)-(32a+8c)=24c,\\&16b+4d-2(2b+2d)=12b,\\&8(2b+2d)-(16b+4d)=12d, \end{split}\]且 $a,b,c,d$ 均大于 $0$，所以 $24a,12b,24c,12d$ 均为正整数．
令 $24a=k,12b=l,24c=m,12d=n$，其中 $k,l,m,n$ 均为正整数，则$$f(1)=a+b+c+d=\dfrac k{24}+\dfrac l{12}+\dfrac m{24}+\dfrac n{12},$$所以$$24f(1)=k+2l+m+2n,$$同理$$24f(-1)=k-2l+m-2n,$$从而有\[\begin{split}24[f(1)+f(-1)]&=2(k+m),\\24[f(1)-f(-1)]&=4(l+n), \end{split}\]即知 $k+m$ 是 $12$ 的倍数，$l+n$ 是 $6$ 的倍数．
由 $f(1)=1$，得$$k+m+2(l+n)=24,$$所以$$k+m=12,l+n=6.$$由 $f(5)=70$，得$$625a+125b+25c+5d=70.$$于是$$\dfrac {125}{24}k+\dfrac {25}{12}l+\dfrac {5}{24}m+\dfrac 1{12}n=14,$$即$$125k+50l+5m+2n=14\times 24=336.$$因为\[\begin{split}125k+50l+5m+2n&=120k+5(k+m)+50l+2n\\&=120k+5\times 12+50l+2n\\&=10(12k+6+5l)+2n, \end{split}\]所以 $2n$ 的个位数即为 $336$ 的个位数 $6$，又因为 $2n<12$，故 $2n=6,n=3,l=6-n=6-3=3.$ 于是 $125k+5m=180$，即 $24k+k+m=36,24k=24$，所以 $k=1,m=11$．即得$$a=\dfrac 1{24},b=\dfrac 14,c=\dfrac {11}{24},d=\dfrac 14.$$因此\[\begin{split} f(x)&=\dfrac 1{24}x^4+\dfrac 14x^3+\dfrac {11}{24}x^2+\dfrac 14x\\&=\dfrac 1{24}x(x^3+6x^2+11x+6)\\&=\dfrac 1{24}x(x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6)\\&=\dfrac 1{24}x(x+1)(x^2+5x+6)\\&=\dfrac 1{24}x(x+1)(x+2)(x+3). \end{split}\]在四个连续整数 $x,x+1,x+2,x+3$ 中必有两个连续偶数，其积能被 $8$ 整除；又因为任意三个连续整数均能被 $3$ 整除，且 $3$ 与 $8$ 互质，所以 $x(x+1)(x+2)(x+3)$ 能被 $3\times 8=24$ 整除，即对每个整数 $x$，$f(x)$ 均为整数．