题目 设 $f(x) = {\rm e}^x -ax -a.$ 问题1 若 $f(x) \geqslant 0$ 对一切 $x \geqslant -1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $a \leqslant 1 $ 解析1 由 $f(x)\geqslant 0$ 得 $(x+1)a \leqslant {\rm e}^x $，即 $a \leqslant \dfrac{{\rm e}^x }{x +1} (x> -1)$．令 $h(x)= \dfrac{{\rm e}^x }{x +1}$，则 $h'(x)=\dfrac{x{\rm e}^x }{(x +1)^2}.$<br/>由 $h'(x)=\dfrac{x{\rm e}^x }{(x +1)^2} >0$ 得 $x >0$．<br/>所以 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，$h(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减．<br/>所以 $h(x) \geqslant h(0) = 1(x>-1)$，由此得 $a \leqslant 1$．<br/>又 $x= -1$ 时，$(x+1)a \leqslant {\rm e}^x $ 即为 $0 \times a \leqslant {\rm e}^{-1}$，此时 $a$ 取任意值都成立．<br/>综上可得 $a \leqslant 1.$ 备注1 问题2 求证：$\left(\dfrac{2015}{2016}\right)^{1008} < {\rm e}^{-\frac{1}{2}}.$ 答案2 略 解析2 $\left (\dfrac{2015}{2016} \right)^{1008} <{\rm e}^{-\frac{1}{2}}$ 等价于 $\dfrac{2015}{2016} <{\rm e}^{-\frac{1}{2016}}$ 等价于 $1- \dfrac{1}{2016}<<br/>{\rm e}^{-\frac{1}{2016}}$．<br/>由 $(1)$ 知，当 $a = 1$ 时 $f(x) \geqslant 0$ 对一切 $x \geqslant -1$ 恒成立，即 ${\rm e}^x \geqslant x +1(x=0 \text{时取等号}).$<br/>取 $x=-\dfrac{1}{2016}$，得 $1 - \dfrac{1}{2016} <{\rm e}^{-\frac{1}{2016}}.$<br/>即证得：$\left (\dfrac{2015}{2016} \right)^{1008} <{\rm e}^{-\frac{1}{2}}$． 备注2