• 题型

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  几何部分

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  线段最值

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  轴对称之最短路径

$E\left(\dfrac{32}{13} ,\dfrac{20}{13}\right)$

因为抛物线 $y=ax^2+bx-4$（$a\ne0$）与 $x$ 轴交于 $A(4,0),B(-1,0)$ 两点，
所以 $\begin{cases}16a+4b-4=0,\\ a-b-4=0.\end{cases}$
所以 $\begin{cases}a=1,\\b=-3.\end{cases}$
所以抛物线解析式为 $y=x^2-3x-4$，
所以点 $D(0,-4)$．
因为点 $C$ 是直线 $y=-x+4$ 与抛物线的交点，
所以联立解得 $\begin{cases}x=4,\\y=0.\end{cases}$（舍）或 $\begin{cases}x=-2,\\y=6.\end{cases}$
所以 $C(-2,6)$，
因为 $A(4,0)$，
所以直线 $AC$ 解析式为 $y=-x+4$，
如图，作点 $B$ 关于直线 $AC$ 的对称点 $F$，连接 $BF$ 交 $AC$ 于点 $G$，连接 $DF$ 交 $AC$ 于点 $E$．因为直线 $BF\perp AC$，且点 $B(-1,0)$，
所以直线 $BF$ 解析式为 $y=x+1$．
设点 $F(m,m+1)$，所以 $G\left(\dfrac{m-1}{2} ,\dfrac{m+1}{2}\right)$．
因为点 $G$ 在直线 $AC$ 上，
所以 $-\dfrac{m-1}{2}+4=\dfrac{m+1}{2}$，即 $m=4$，
所以点 $F(4,5)$．
因为点 $D(0,-4)$，
所以直线 $DF$ 解析式为 $y=\dfrac 94 x-4$．
因为直线 $AC$ 解析式为 $y=-x+4$，
所以直线 $DF$ 和直线 $AC$ 的交点 $E\left(\dfrac{32}{13} ,\dfrac{20}{13}\right)$．

• 题型

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  代几综合

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  直角三角形的存在性

满足条件的点 $E$ 的坐标为 $E(3,1)$ 或 $\left(\dfrac{13}{4} ,-\dfrac{51}{16}\right)$

因为 $BD=\sqrt{17}$，
由第1问可得点 $B$ 到线段 $AC$ 的距离为 $BG=\dfrac 12 BF=\dfrac 12 \times5\sqrt 2 =\dfrac{5\sqrt 2}{2} >BD$，
所以 $\angle BED$ 不可能是直角．
因为点 $B(-1,0)$，点 $D(0,-4)$，
所以直线 $BD$ 解析式为 $y=-4x+4$．
$\triangle BDE$ 为直角三角形分为两种情况：
① 当 $\angle BDE=90^\circ$ 时，$BE\perp BD$ 交 $AC$ 于 $B$，
所以直线 $BE$ 解析式为 $y=\dfrac 14 x+\dfrac 14$．
因为点 $E$ 在直线 $AC$：$y=-x+4$ 的图象上，
所以点 $E(3,1)$；
② 当 $\angle BDE=90^\circ$ 时，$BE\perp BD$ 交 $AC$ 于 $D$，
所以直线 $BE$ 的解析式为 $y=\dfrac 14 x-4$．
因为点 $E$ 在抛物线 $y=x^2-3x-4$ 上，
所以直线 $BE$ 与抛物线的交点为 $(0,-4)$ 和 $\left(\dfrac{13}{4} ,-\dfrac{51}{16}\right)$
所以点 $E\left(\dfrac{13}{4} ,-\dfrac{51}{16}\right)$．
即满足条件的点 $E$ 的坐标为 $E(3,1)$ 或 $\left(\dfrac{13}{4} ,-\dfrac{51}{16}\right)$．