设 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=a^3+b^3+c^3=0$，$n$ 为任意自然数，求 $a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}$ 的值．
【难度】
【出处】
2014年北京大学全国优秀中学生体验营数学试卷
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
因为$$-c^3=a^3+b^3=(-c)^3=(a+b)^3,$$从而得$$(a+b)\cdot 3ab=0,$$所以 $a,b,c$ 中至少有一个为零，进而$$a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=0.$$
答案
解析
备注
