已知 $x,y,z>0$，且 $xy+yz+zx=1$，求证：$$xyz(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right).$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，根据题意，$x,y,z$ 中至多只有一个数不小于 $1$，当 $x\geqslant 1$ 时，$LHS>0\geqslant RHS$，不等式显然成立；
当 $x,y,z\in (0,1)$ 时，原不等式即$$(zx+yz)(xy+zx)(yz+xy)\geqslant \left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right),$$也即$$(1-xy)(1-yz)(1-zx)\geqslant \left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right),$$展开即$$xyz(x+y+z)\geqslant 1-\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right).$$而$$\left(x^2+y^2+z^2\right)-1=\left(x^2+y^2+z^2\right)-(xy+yz+zx)=\dfrac 12\sum_{cyc}(x-y)^2,$$且$$\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)-xyz(x+y+z)=\dfrac 12\sum_{cyc}(zx-yz)^2=\dfrac 12\sum_{cyc}z^2(x-y)^2,$$因此原不等式得证．
当 $x,y,z\in (0,1)$ 时，原不等式即$$(zx+yz)(xy+zx)(yz+xy)\geqslant \left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right),$$也即$$(1-xy)(1-yz)(1-zx)\geqslant \left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right),$$展开即$$xyz(x+y+z)\geqslant 1-\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right).$$而$$\left(x^2+y^2+z^2\right)-1=\left(x^2+y^2+z^2\right)-(xy+yz+zx)=\dfrac 12\sum_{cyc}(x-y)^2,$$且$$\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)-xyz(x+y+z)=\dfrac 12\sum_{cyc}(zx-yz)^2=\dfrac 12\sum_{cyc}z^2(x-y)^2,$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
