已知曲线 $\varGamma$ 上的点到点 $F\left(0,1\right)$ 的距离比它到直线 $y = - 3$ 的距离小 $2$．
【难度】
【出处】
2014年高考福建卷（文）
【标注】
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求曲线 $\varGamma$ 的方程；标注答案$x^2=4y$解析根据题意，曲线 $\varGamma$ 是 $F(0,1)$ 为焦点，直线 $y=-1$ 为准线的抛物线，因此其方程为 $x^2=4y$．
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曲线 $\varGamma$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$．直线 $y = 3$ 分别与直线 $l$ 及 $y$ 轴交于点 $M$，$N$．以 $MN$ 为直径作圆 $C$，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$，试探究：当点 $P$ 在曲线 $\varGamma$ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $AB$ 的长度是否发生变化？证明你的结论．标注答案$\big|AB\big|$ 为定值 $6$解析$\big|AB\big|$ 为定值，证明如下．
设 $P(4t,4t^2)$，则抛物线 $\varGamma$ 在 $P$ 处的切线方程为$$y=2t(x-4t)+4t^2,$$即 $y=2tx-4t^2$．因此点 $A$ 的坐标为 $A(2t,0)$．
进而点 $M,N$ 的坐标分别为 $M\left(2t+\dfrac{3}{2t},3\right)$，$N(0,3)$，因此圆 $C$ 的半径 $r=t+\dfrac 3{4t}$．
于是线段 $AB$ 的长，即切线长满足$$\big|AB\big|^2=\big|AC\big|^2-r^2=\left(t-\dfrac 3{4t}\right)^2+9-\left(t+\dfrac{3}{4t}\right)^2=6,$$为定值，因此命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
