已知双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > 0,b > 0\right)$ 的两条渐近线分别为 ${l_1}:y = 2x$，${l_2}:y = - 2x$．
【难度】
【出处】
2014年高考福建卷（理）
【标注】
-
求双曲线 $E$ 的离心率；标注答案$\sqrt 5$解析根据题意有 $\dfrac{b^2}{a^2}=4$，从而双曲线的离心率$$e=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt 5.$$
-
如图，$O$ 为坐标原点，动直线 $l$ 分别交直线 $l_1,l_2$ 于 $A$，$B$ 两点（$A,B$ 分别在第一、四象限），且 $\triangle OAB$ 的面积恒为 $8$，试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$？若存在，求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在，说明理由．
标注答案存在符合题意的双曲线 $E$，且 $E:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{16}=1$解析存在符合题意的双曲线 $E$，且 $E:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{16}=1$，证明如下．
设 $P(x_0,y_0)$ 是双曲线右支上一点，满足 $\dfrac{x_0^2}{4}-\dfrac{y_0^2}{16}=1$，曲线 $\varGamma:\dfrac{(x-x_0)^2}4-\dfrac{(y-y_0)^2}{16}=0$，则曲线 $\varGamma$ 与双曲线 $E$ 只有唯一的公共点 $P$，将两条曲线的方程相减，得到直线$$m:\left(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{16}-1\right)-\left[\dfrac{(x-x_0)^2}4-\dfrac{(y-y_0)^2}{16}\right]=0,$$即$$m:\dfrac{x_0x}{4}-\dfrac{y_0y}{16}=1$$必然通过点 $P$，且直线 $m$ 上不存在除 $P$ 以外的双曲线上的点（否则方程左边的两个括号中，第一个为 $0$，而第二个不为 $0$，矛盾），因此 $m$ 即双曲线 $E$ 在点 $P$ 处的切线方程．
将直线 $m$ 的方程分别与直线 $y=2x$ 和 $y=-2x$ 联立，可得 $A,B$ 两点的横坐标 $x_1,x_2$ 满足$$\left(\dfrac{x_0}4-\dfrac{y_0}8\right)x_1=1,\left(\dfrac{x_0}4+\dfrac{y_0}8\right)x_2=1,$$两式相乘得$$\left(\dfrac{x_0^2}{16}-\dfrac{y_0^2}{64}\right)x_1x_2=1,$$即 $x_1x_2=4$．
由 $\tan\angle AOx=2$ 可得$$\sin\angle AOB=\dfrac{2\tan\angle AOx}{1+\tan^2\angle AOx}=\dfrac 45,$$于是三角形 $AOB$ 的面积\[\begin{split} S&=\dfrac 12\cdot\sin\angle AOB\cdot\big|OA\big|\cdot \big|OB\big|\\&=\dfrac 12\cdot\dfrac 45\cdot\sqrt {1+2^2}\cdot x_1\cdot\sqrt{1+(-2)^2}\cdot x_2\\&=8,\end{split}\]从而命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
