若 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=abc$，求证：$$\dfrac{b+c}a+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}c\geqslant 2\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)^2.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式即$$\left(\dfrac{b+c}a+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}c\right)(a+b+c)\geqslant 2\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)^2\cdot abc,$$即$$2(a+b+c)+\sum_{cyc}\left(\dfrac{2ca}{b}+\dfrac{c^2+a^2}b\right)\geqslant 4(a+b+c)+2\sum_{cyc}\dfrac{ab}c,$$也即$$\dfrac{b^2+c^2}a+\dfrac{c^2+a^2}b+\dfrac{a^2+b^2}c\geqslant 2(a+b+c).$$而\[\begin{split} \dfrac{b^2+c^2}a+\dfrac{c^2+a^2}b+\dfrac{a^2+b^2}c&\geqslant \dfrac{2bc}a+\dfrac{2ca}b+\dfrac{2ab}c\\ &=2abc\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\\ &\geqslant 2abc\left(\dfrac 1{ab}+\dfrac 1{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\\&=2(a+b+c),\end{split}\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
