设椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）外一点 $P(x_0,y_0)$，求证：方程$$\left(\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}-1\right)\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1\right)=\left(\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}-1\right)^2$$表示过点 $P$ 的椭圆的两条切线．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $\dfrac{x_0}a=m$，$\dfrac{y_0}b=n$，$\dfrac xa=s$，$\dfrac yb=t$，则方程左边与右边之差为\[\begin{split} &(m^2+n^2-1)(s^2+t^2-1)-(ms+nt-1)^2\\=&(n^2-1)s^2+(m^2-1)t^2-2mnst+2ms+2nt-m^2-n^2\\ =&(ns-mt)^2-(s-m)^2-(t-n)^2,\end{split}\]记 $s-m=x'$，$t-n=y'$，则上式等于$$(nx'-my')^2-x'^2-y'^2=(n^2-1)x'^2-2mnx'y'+(m^2-1)y'^2,$$考虑到该式的判别式$$\Delta=(2mn)^2-4(m^2-1)(n^2-1)=4(m^2+n^2-1)>0,$$于是该式可以分解为两个一次多项式之积，进而原方程表示两条相交直线．又这两条相交直线通过直线 $\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}-1=0$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1=0$ 的所有公共点，且过点 $P(x_0,y_0)$，因此该方程表示过点 $P$ 的椭圆的两条切线．
答案
解析
备注
