给出计算双曲线 $y=mx+\dfrac nx$（$m,n>0$）的半实轴长 $a$，半虚轴长 $b$ 以及离心率 $e$ 的算法．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
第一步，计算 $x^2+y^2$ 的最小值即 $a^2$：$$x^2+y^2=x^2+\left(mx+\dfrac nx\right)^2=(1+m^2)x^2+\dfrac{n^2}{x^2}+2mn\geqslant 2n(\sqrt{1+m^2}+m)=a^2;$$第二步，计算双曲线上的点到两条渐近线的距离之积，为$$\dfrac{|mx-y|\cdot |x|}{\sqrt{1+m^2}}=\dfrac{n}{\sqrt{1+m^2}}=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2},$$于是可得$$b^2=2n(\sqrt{1+m^2}-m);$$第三步，离心率$$e^2=1+\dfrac{b^2}{a^2}=1+(\sqrt{1+m^2}-m)^2.$$
答案
解析
备注
