已知 $a,b>0$，求证：$\dfrac{4(1+a)(1+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}\leqslant 3\sqrt 3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a=\tan A$，$b=\tan B$，其中 $A,B\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则\[\begin{split} LHS&=4(\sin A+\cos A)(\sin B+\cos B)(\cos A\cos B-\sin A\sin B)\\
&=4\left[\sin (A+B)+\cos (A-B)\right]\cos (A+B),
\end{split}\]当 $\cos (A+B)\leqslant 0$ 时，原不等式显然成立；
当 $\cos (A+B)>0$ 时，有 $A+B<\dfrac {\pi}{2}$，从而$$4\left[\sin (A+B)+\cos (A-B)\right]\cos (A+B)\leqslant 4[\sin (A+B)+1]\cos (A+B).$$设函数 $f(x)=4(\sin x+1)\cos x$，$x\in \left(0,\dfrac {\pi}{2}\right)$，则 $f(x)=2\sin 2x+4\cos x$，其导函数$$f'(x)=4\cos 2x-4\sin x=4(1+\sin x)(1-2\sin x),$$于是函数 $f(x)$ 的极大值亦为最大值是 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=3\sqrt 3$，原不等式得证．
判别式法 不等式等价于$$3\sqrt 3(1+a^2)(1+b^2)-4(1+a)(1+b)(1-ab)\geqslant 0.$$考虑关于 $a$ 的一元二次方程$$[3\sqrt 3(b^2+1)+4b(b+1)]a^2+4(b^2-1)a+[3\sqrt 3(b^2+1)-4(b+1)]=0,$$它的判别式$$\Delta=-92+48\sqrt 3+64b-120b^2+64b^3-92b^4-48\sqrt 3b^4$$有且仅有两个相等的实根 $2-\sqrt 3$，所以$$\Delta\geqslant 0,$$从而不等式得证．
&=4\left[\sin (A+B)+\cos (A-B)\right]\cos (A+B),
\end{split}\]当 $\cos (A+B)\leqslant 0$ 时，原不等式显然成立；
当 $\cos (A+B)>0$ 时，有 $A+B<\dfrac {\pi}{2}$，从而$$4\left[\sin (A+B)+\cos (A-B)\right]\cos (A+B)\leqslant 4[\sin (A+B)+1]\cos (A+B).$$设函数 $f(x)=4(\sin x+1)\cos x$，$x\in \left(0,\dfrac {\pi}{2}\right)$，则 $f(x)=2\sin 2x+4\cos x$，其导函数$$f'(x)=4\cos 2x-4\sin x=4(1+\sin x)(1-2\sin x),$$于是函数 $f(x)$ 的极大值亦为最大值是 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=3\sqrt 3$，原不等式得证．
答案
解析
备注
