求证：$1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}+\cdots = \dfrac{{\mathrm \pi}^2}6$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑$$\dfrac{\sin x}x=1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}-\dfrac{x^6}{7!}+\cdots +(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!}+\cdots ,$$由于 $y=\dfrac{\sin x}x$ 的零点为$$x=\pm {\mathrm \pi},\pm 2{\mathrm \pi},\cdots ,\pm n{\mathrm \pi},\cdots ,$$因此$$\begin{split} &1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}-\dfrac{x^6}{7!}+\cdots +(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!}+\cdots \\=&\left(1-\dfrac{x^2}{{\mathrm \pi}^2}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{4{\mathrm \pi}^2}\right)\cdots \left(1-\dfrac{x^2}{n^2{\mathrm \pi}^2}\right)\cdots,\end{split} $$对比上式中 $x^2$ 项的系数可得$$1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}+\cdots = \dfrac{{\mathrm \pi}^2}6.$$
答案
解析
备注
