已知关于 $x$ 的方程 $x^3-ax^2-2ax+a^2-1=0$ 有且只有一个实数根，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,\dfrac 34\right)$
【解析】
方程即 $a^2-(x^2+2x)a+x^3-1=0$，即$$a=\dfrac{x^2+2x\pm \sqrt{(x^2+2x)^2-4(x^3-1)}}{2},$$于是 $a=x-1$ 或 $a=x^2+x+1$．因此原方程只有一个实数根即方程 $a=x^2+x+1$ 无解或 $a=x^2+x+1$ 有两个相等实根，且该实根亦为方程 $a=x-1$ 的根，进而解得 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 34\right)$．
答案
解析
备注
