设 $A_1 , A_2 , A_3 , \ldots$ 是一列集合，满足：对任意正整数 $j$，只有有限多个正整数 $i$，使得 $A_i \subset A_j$．证明：存在一列正整数 $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots$，使得对任意正整数 $i,j$，$a_i |a_j$，当且仅当 $A_i \subset A_j$．
【难度】
【出处】
2014年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $p_1 , p_2 , p_3 , \ldots$ 是全体素数从小到大排列．对 $i\in\mathbb{N}^{*}$，记 $S_i = \{ j\in\mathbb{N}^{*}~|~A_j \subset A_i \}$，由题设知 $S_i$ 是有限集，且 $i\in S_i$．令 $a_i =\prod_{j\in S}p_j$，下证明数列 $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots$ 满足条件．
对任意正整数 $i,j$，若 $A_i \subset A_j$，则 $S_i \subset S_j$，从而 $a_i |a_j$，若 $a_i |a_j$，则 $S_i \subset S_j$，由 $i\in S_i$ 可知 $i\in S_j$，故 $A_i \subset A_j$，因此 $a_i |a_j$，当且仅当 $A_i \subset A_j$．
对任意正整数 $i,j$，若 $A_i \subset A_j$，则 $S_i \subset S_j$，从而 $a_i |a_j$，若 $a_i |a_j$，则 $S_i \subset S_j$，由 $i\in S_i$ 可知 $i\in S_j$，故 $A_i \subset A_j$，因此 $a_i |a_j$，当且仅当 $A_i \subset A_j$．
答案
解析
备注
