已知平面直角坐标系上的两个点 $B(-1,0),C(1,0)$．对平面上的一个非空有界子集 $S$，若：
（1）存在子集 $S$ 中的一个点 $T$，使得对于 $S$ 中的每个点 $Q$，线段 $TQ$ 均在 $S$ 中；
（2）对于任意 $\triangle P_1 P_2 P_3$，存在 $S$ 中唯一的一个点 $A$ 及 $\{1,2,3\}$ 的一个排列 $\sigma$，使得$$\triangle ABC\sim \triangle P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$$则称子集 $S$ 为"好的"．
证明：存在集合 $\{(x,y)~|~x\geqslant 0,y\geqslant 0\}$ 的两个不同好子集 $S,S'$，使得若 $A\in S,A'\in S'$ 分别为满足（2）的唯一的点，则 $BA\cdot BA'$ 为不依赖于 $\triangle P_1 P_2 P_3$ 的常数．
（1）存在子集 $S$ 中的一个点 $T$，使得对于 $S$ 中的每个点 $Q$，线段 $TQ$ 均在 $S$ 中；
（2）对于任意 $\triangle P_1 P_2 P_3$，存在 $S$ 中唯一的一个点 $A$ 及 $\{1,2,3\}$ 的一个排列 $\sigma$，使得$$\triangle ABC\sim \triangle P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$$则称子集 $S$ 为"好的"．
证明：存在集合 $\{(x,y)~|~x\geqslant 0,y\geqslant 0\}$ 的两个不同好子集 $S,S'$，使得若 $A\in S,A'\in S'$ 分别为满足（2）的唯一的点，则 $BA\cdot BA'$ 为不依赖于 $\triangle P_1 P_2 P_3$ 的常数．
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
若对于 $\triangle ABC\sim\triangle P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$，$BC$ 对应着 $\triangle P_1 P_2 P_3$ 的最长边，则 $BC\geqslant AB\geqslant AC$．因为对于第一象限内的每个点 $A$，均有 $AB\geqslant AC$，所以，$BC\geqslant AB$，即 $(x+1)^2 +y^2 \leqslant 4$．
定义$$S=\{(x,y)~|~(x+1)^2 + y^2 \leqslant 4, ~x,y\geqslant 0\}$$则 $S$ 为圆盘 $(x+1)^2 +y^2 \leqslant 4$ 与第一象限的交，如图．
于是，$S$ 的边界为凸的．可以选择 $S$ 中的任意一点 $T$ 满足（1）．对于 $S$ 中的任意一点 $A$，均有 $BC\geqslant AB\geqslant AC$．反之，若上述构造的集合存在，则点 $A$ 是唯一确定的．
若对于 $\triangle A'BC\sim\triangle P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$，$BC$ 对应着 $\triangle P_1 P_2 P_3$ 的第二长边，则 $A'B\geqslant BC\geqslant A'C$．则这两个不等式分别等价于$$(x+1)^{2}+y^{2} \geqslant 4,~(x-1)^{2}+y^{2} \leqslant 4$$定义$$S'=\{(x,y)~|~(x+1)^2 +y^2 \geqslant 4,~(x-1)^2 +y^2 \leqslant 4,~x,y\geqslant 0\}$$于是，若上述构造的集合存在，则点 $A'$ 是唯一确定的．
对于（1），由 $S'$ 包含圆盘 $(x-1)^2 +y^2 \leqslant 4$ 内的点和圆盘 $(x+1)^2 +y^2 <4$ 外部的点，则可选择点 $T'(1,2)$，即圆 $(x-1)^2 +y^2 =4$ 的最上面的点．
下面证明：$BA\cdot BA'$ 为常数．
假设 $\triangle P_1 P_2 P_3$ 满足 $P_1 P_2 \geqslant P_2 P_3 \geqslant P_3 P_1$．则 $B A=B C \cdot \frac{P_{2} P_{3}}{P_{1} P_{2}}$，$B A^{\prime}=B C \cdot \frac{P_{1} P_{2}}{P_{2} P_{3}}$，$\Rightarrow BA\cdot BA'=BC^2 =4$，且不依赖于 $\triangle P_1 P_2 P_3$
定义$$S=\{(x,y)~|~(x+1)^2 + y^2 \leqslant 4, ~x,y\geqslant 0\}$$则 $S$ 为圆盘 $(x+1)^2 +y^2 \leqslant 4$ 与第一象限的交，如图．
于是，$S$ 的边界为凸的．可以选择 $S$ 中的任意一点 $T$ 满足（1）．对于 $S$ 中的任意一点 $A$，均有 $BC\geqslant AB\geqslant AC$．反之，若上述构造的集合存在，则点 $A$ 是唯一确定的．若对于 $\triangle A'BC\sim\triangle P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$，$BC$ 对应着 $\triangle P_1 P_2 P_3$ 的第二长边，则 $A'B\geqslant BC\geqslant A'C$．则这两个不等式分别等价于$$(x+1)^{2}+y^{2} \geqslant 4,~(x-1)^{2}+y^{2} \leqslant 4$$定义$$S'=\{(x,y)~|~(x+1)^2 +y^2 \geqslant 4,~(x-1)^2 +y^2 \leqslant 4,~x,y\geqslant 0\}$$于是，若上述构造的集合存在，则点 $A'$ 是唯一确定的．
对于（1），由 $S'$ 包含圆盘 $(x-1)^2 +y^2 \leqslant 4$ 内的点和圆盘 $(x+1)^2 +y^2 <4$ 外部的点，则可选择点 $T'(1,2)$，即圆 $(x-1)^2 +y^2 =4$ 的最上面的点．
下面证明：$BA\cdot BA'$ 为常数．
假设 $\triangle P_1 P_2 P_3$ 满足 $P_1 P_2 \geqslant P_2 P_3 \geqslant P_3 P_1$．则 $B A=B C \cdot \frac{P_{2} P_{3}}{P_{1} P_{2}}$，$B A^{\prime}=B C \cdot \frac{P_{1} P_{2}}{P_{2} P_{3}}$，$\Rightarrow BA\cdot BA'=BC^2 =4$，且不依赖于 $\triangle P_1 P_2 P_3$
【解析】
略
答案
解析
备注
