设整数 $n\geqslant 2$，正实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n x_i =1$．
证明：$\displaystyle
\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{1-x_{i}}\right)\left(\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}\right) \leqslant \dfrac{n}{2}
$
证明：$\displaystyle
\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{1-x_{i}}\right)\left(\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}\right) \leqslant \dfrac{n}{2}
$
【难度】
【出处】
2015年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
注意到 $\displaystyle 2 \sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{j}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}\left(1-x_{i}\right)$．
故原不等式等价于 $\displaystyle
\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{1-x_{i}}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\left(1-x_{i}\right)\right) \leqslant n
$ ①
不妨设 $0<x_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant x_n \leqslant 1$，
因为对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，有 $x_i + x_j \leqslant 1$，$0<x_i < x_j \leqslant 1$，
从而 $(x_i - x_j ) (1-x_i - x_j )\leqslant 0$，故 $x_i (1-x_i )\leqslant x_j (1-x_j )$．
于是 $x_1 ( 1-x_1 )\leqslant x_2 (1-x_2 )\leqslant \ldots \leqslant x_n (1-x_n )$．又 $\frac{1}{1-x_{1}} \leqslant \frac{1}{1-x_{2}} \leqslant \cdots \leqslant \frac{1}{1-x_{n}}$．
由契比雪夫（Chebyshev）不等式得
$\displaystyle
\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{1-x_{i}}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\left(1-x_{i}\right)\right) \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{1-x_{i}}\right) x_{i}\left(1-x_{i}\right)\right)=1
$
所以 ① 成立，
从而原不等式成立．
证法二
先证局部不等式．
对任意 $1\leqslant k\leqslant n$，
有 $\displaystyle
\left(2 \sum\limits_{1 \leqslant i<j\leqslant n} x_{i} x_{j}\right)\left(\frac{1}{1-x_{k}}\right) \leqslant 2 x_{k}+\frac{n-2}{n-1} \sum_{i \neq k} x_{i}
$ ②
事实上，由均值不等式 $\displaystyle \sum\limits_{i \neq k} x_{i}^{2} \geqslant \frac{2}{n-2} \sum_{i, j \neq k} x_{i} x_{j}$，从而
$\displaystyle \begin{aligned}
2 \sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant n;~ i, j \neq k} x_{i} x_{j} &\leqslant \frac{n-2}{n-1}\left(\sum_{i \neq k} x_{i}\right)^{2}\cdot \left(2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}\right)\left(\frac{1}{1-x_{k}}\right) \\
&=\left(2 x_{k}\left(1-x_{k}\right)+2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n;~i, j \neq k} x_{i} x_{j}\right)\left(\frac{1}{1-x_{k}}\right) \\
&=2 x_{k}+\frac{2 \sum_{i \neq j \neq k} x_{i} x_{j}}{\sum_{i \neq k} x_{i}}\\
&\leqslant 2 x_{k}+\frac{n-2}{n-1} \sum_{i \neq k} x_{i}
\end{aligned}$
所以 ② 成立．
回到原题，
对 ② 两边的 $k=1,2,\ldots,n$ 求和知原不等式成立．
注意到 $\displaystyle 2 \sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{j}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}\left(1-x_{i}\right)$．
故原不等式等价于 $\displaystyle
\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{1-x_{i}}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\left(1-x_{i}\right)\right) \leqslant n
$ ①
不妨设 $0<x_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant x_n \leqslant 1$，
因为对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，有 $x_i + x_j \leqslant 1$，$0<x_i < x_j \leqslant 1$，
从而 $(x_i - x_j ) (1-x_i - x_j )\leqslant 0$，故 $x_i (1-x_i )\leqslant x_j (1-x_j )$．
于是 $x_1 ( 1-x_1 )\leqslant x_2 (1-x_2 )\leqslant \ldots \leqslant x_n (1-x_n )$．又 $\frac{1}{1-x_{1}} \leqslant \frac{1}{1-x_{2}} \leqslant \cdots \leqslant \frac{1}{1-x_{n}}$．
由契比雪夫（Chebyshev）不等式得
$\displaystyle
\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{1-x_{i}}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\left(1-x_{i}\right)\right) \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{1-x_{i}}\right) x_{i}\left(1-x_{i}\right)\right)=1
$
所以 ① 成立，
从而原不等式成立．
证法二
先证局部不等式．
对任意 $1\leqslant k\leqslant n$，
有 $\displaystyle
\left(2 \sum\limits_{1 \leqslant i<j\leqslant n} x_{i} x_{j}\right)\left(\frac{1}{1-x_{k}}\right) \leqslant 2 x_{k}+\frac{n-2}{n-1} \sum_{i \neq k} x_{i}
$ ②
事实上，由均值不等式 $\displaystyle \sum\limits_{i \neq k} x_{i}^{2} \geqslant \frac{2}{n-2} \sum_{i, j \neq k} x_{i} x_{j}$，从而
$\displaystyle \begin{aligned}
2 \sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant n;~ i, j \neq k} x_{i} x_{j} &\leqslant \frac{n-2}{n-1}\left(\sum_{i \neq k} x_{i}\right)^{2}\cdot \left(2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}\right)\left(\frac{1}{1-x_{k}}\right) \\
&=\left(2 x_{k}\left(1-x_{k}\right)+2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n;~i, j \neq k} x_{i} x_{j}\right)\left(\frac{1}{1-x_{k}}\right) \\
&=2 x_{k}+\frac{2 \sum_{i \neq j \neq k} x_{i} x_{j}}{\sum_{i \neq k} x_{i}}\\
&\leqslant 2 x_{k}+\frac{n-2}{n-1} \sum_{i \neq k} x_{i}
\end{aligned}$
所以 ② 成立．
回到原题，
对 ② 两边的 $k=1,2,\ldots,n$ 求和知原不等式成立．
答案
解析
备注
