对数列 $a_1 , a_2 , \ldots , a_m$，定义集合 $A=\{a_i ~|~ 1\leqslant i\leqslant m\}$，$B=\{a_i +2a_j ~|~1\leqslant i,j\leqslant m,~i\neq j\}$．
设 $n$ 为给定的大于 $2$ 的整数，对所有由正整数组成的严格递增的等差数列 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$，求集合 $A\Delta B$ 的元素个数的最小值．（其中 $A\Delta B=(A \cup B)\backslash(A\cap B)$．
设 $n$ 为给定的大于 $2$ 的整数，对所有由正整数组成的严格递增的等差数列 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$，求集合 $A\Delta B$ 的元素个数的最小值．（其中 $A\Delta B=(A \cup B)\backslash(A\cap B)$．
【难度】
【出处】
2015年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n=3$ 时，所求最小值为 $5$；当 $n\geqslant 4$ 时，所求最小值为 $2n$．
引理：当 $n\geqslant 4$ 时，对公差为 $d$ 的等差数列 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$，有 $B=\{3a_1 + k d ~|~1\leqslant k\leqslant 3n-4,~k\in\mathbb{Z}\}$．
引理的证明：对任意 $1\leqslant i,j\leqslant n$，
$i\neq j$，$
a_{i}+2 a_{j}=3 a_{1}+(i-1) d+2(j-1) d=3 a_{1}+(i+2 j-3) d
$
而 $1\leqslant i+2j-3\leqslant 3n-4$，因此有 $
B \subset \left\{3 a_{1}+k d ~|~ 1 \leqslant k \leqslant 3 n-4, k \in \mathbb{Z}\right\}
$
另一方面，对 $1\leqslant k\leqslant 3n-4$，可以证明存在 $1\leqslant i,j\leqslant n$，$i\neq j$，使得 $i+2j-3=k$．
（1）当 $k\geqslant 2n-2$ 时，取 $i=k+3-2n$，$j=n$，有 $1\leqslant i\leqslant n-1<j=n$，且 $i+2j-3=k$；
（2）当 $k\leqslant 2n-3$ 时，且 $k$ 为偶数时，取 $i=1,j=\dfrac{k+2}{2}$，有 $1=i<j<n$，且 $i+2j-3=k$；
（3）当 $5\leqslant k\leqslant 2n-3$，且 $k$ 为奇数时，取 $i=2,j=\dfrac{k+1}{2}$，有 $1<i<j<n$，且 $i+2j-3=k$；
（4）当 $k=1$ 时，取 $i=2,j=1$；当 $k=3$ 时，取 $i=4,j=1$．
由上面的讨论，可知总存在 $1\leqslant i,j\leqslant n$，$i\neq j$ 使得 $i+2j-3=k$．于是有 $\{3a_1 + k d ~|~1\leqslant k\leqslant 3n-4,~k\in\mathbb{Z}\}\subset B$．
引理得证．
回到原题，先讨论 $n\geqslant 4$ 的情形．
设由正整数组成的等差数列 $a_1 , a_2 , \ldots, a_n$ 严格递増，即公差 $d>0$．显然有 $|A|=n$．由引理可知 $B=\{3a_1 + k d ~|~1\leqslant k\leqslant 3n-4,~k\in\mathbb{Z}\}$
于是 $|B|=3n-4$．
又由 $a_2 = a_1 + d <3a_1+d$ 可知 $a_1 , a_2$ 不属于 $B$．
于是 $|A\cap B|\leqslant n-2$．
因此有 $|A\Delta B|=|A|+|B|-2|A\cap B|\geqslant n+(3n-4)-2(n-2)=2n$．
另一方面，当等差数列为 $1,3,5,\ldots,2n-1$ 时，有 $A=\{1,3,5,\ldots ,2n-1\}$．
而由引理可得 $B=\{5,7,\ldots,6n-5\}$，此时有 $|A\Delta B|=2n$．
当 $n=3$ 时，设 $a_1 , a_2 , a_3$ 为正整数组成的严格递增等差数列，
则 $|A|=3$．
由 $2a_1 + a_2 < 2a_1 +a_3 <2a_3 + a_1 < 2a_3 + a_2$ 可知 $|B|\geqslant 4$．
又由 $a_1 , a_2$ 不属于 $B$ 可知 $|A\cap B|\leqslant 1$．
因此 $|A\Delta B|\geqslant 5$．
另一方面，当 $a_1 =1, a_2 = 3, a_3 = 5$ 时，$A=\{1,3,5\}$，$B=\{5,7,11,13\}$，$|A\Delta B|=5$．
由此即得 $|A\Delta B|$ 的最小值为 $5$．
综上所述，当 $n=3$ 时，所求最小值为 $5$；当 $n\geqslant 4$ 时，所求最小值为 $2n$．
引理：当 $n\geqslant 4$ 时，对公差为 $d$ 的等差数列 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$，有 $B=\{3a_1 + k d ~|~1\leqslant k\leqslant 3n-4,~k\in\mathbb{Z}\}$．
引理的证明：对任意 $1\leqslant i,j\leqslant n$，
$i\neq j$，$
a_{i}+2 a_{j}=3 a_{1}+(i-1) d+2(j-1) d=3 a_{1}+(i+2 j-3) d
$
而 $1\leqslant i+2j-3\leqslant 3n-4$，因此有 $
B \subset \left\{3 a_{1}+k d ~|~ 1 \leqslant k \leqslant 3 n-4, k \in \mathbb{Z}\right\}
$
另一方面，对 $1\leqslant k\leqslant 3n-4$，可以证明存在 $1\leqslant i,j\leqslant n$，$i\neq j$，使得 $i+2j-3=k$．
（1）当 $k\geqslant 2n-2$ 时，取 $i=k+3-2n$，$j=n$，有 $1\leqslant i\leqslant n-1<j=n$，且 $i+2j-3=k$；
（2）当 $k\leqslant 2n-3$ 时，且 $k$ 为偶数时，取 $i=1,j=\dfrac{k+2}{2}$，有 $1=i<j<n$，且 $i+2j-3=k$；
（3）当 $5\leqslant k\leqslant 2n-3$，且 $k$ 为奇数时，取 $i=2,j=\dfrac{k+1}{2}$，有 $1<i<j<n$，且 $i+2j-3=k$；
（4）当 $k=1$ 时，取 $i=2,j=1$；当 $k=3$ 时，取 $i=4,j=1$．
由上面的讨论，可知总存在 $1\leqslant i,j\leqslant n$，$i\neq j$ 使得 $i+2j-3=k$．于是有 $\{3a_1 + k d ~|~1\leqslant k\leqslant 3n-4,~k\in\mathbb{Z}\}\subset B$．
引理得证．
回到原题，先讨论 $n\geqslant 4$ 的情形．
设由正整数组成的等差数列 $a_1 , a_2 , \ldots, a_n$ 严格递増，即公差 $d>0$．显然有 $|A|=n$．由引理可知 $B=\{3a_1 + k d ~|~1\leqslant k\leqslant 3n-4,~k\in\mathbb{Z}\}$
于是 $|B|=3n-4$．
又由 $a_2 = a_1 + d <3a_1+d$ 可知 $a_1 , a_2$ 不属于 $B$．
于是 $|A\cap B|\leqslant n-2$．
因此有 $|A\Delta B|=|A|+|B|-2|A\cap B|\geqslant n+(3n-4)-2(n-2)=2n$．
另一方面，当等差数列为 $1,3,5,\ldots,2n-1$ 时，有 $A=\{1,3,5,\ldots ,2n-1\}$．
而由引理可得 $B=\{5,7,\ldots,6n-5\}$，此时有 $|A\Delta B|=2n$．
当 $n=3$ 时，设 $a_1 , a_2 , a_3$ 为正整数组成的严格递增等差数列，
则 $|A|=3$．
由 $2a_1 + a_2 < 2a_1 +a_3 <2a_3 + a_1 < 2a_3 + a_2$ 可知 $|B|\geqslant 4$．
又由 $a_1 , a_2$ 不属于 $B$ 可知 $|A\cap B|\leqslant 1$．
因此 $|A\Delta B|\geqslant 5$．
另一方面，当 $a_1 =1, a_2 = 3, a_3 = 5$ 时，$A=\{1,3,5\}$，$B=\{5,7,11,13\}$，$|A\Delta B|=5$．
由此即得 $|A\Delta B|$ 的最小值为 $5$．
综上所述，当 $n=3$ 时，所求最小值为 $5$；当 $n\geqslant 4$ 时，所求最小值为 $2n$．
答案
解析
备注
