在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC\neq BC$，内心为 $I$，直线 $BI$ 与 $AC$ 交于点 $D$，过 $D$ 作 $AC$ 的垂线，与 $AI$ 交于点 $E$．证明：点 $I$ 关于 $AC$ 的对称点在 $\triangle BDE$ 的外接圆上．
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
如图，设以 $E$ 为圆心且过点 $B,C$ 的圆为 $\Gamma$．
因为 $ED\perp AC$，所以，$C$ 关于点 $D$ 的对称点 $F$ 在圆 $\Gamma$ 上．
由 $\angle DCI=\angle ICB=\angle CBI$，知直线 $DC$ 与 $\triangle IBC$ 的外接圆切于点 $C$．设 $I$ 关于点 $D$ 的对称点为 $J$．由 $DC\cdot DF=DC^2 =DI\cdot DB=DJ\cdot DB$，知点 $J$ 在圆 $\Gamma$ 上．
设 $I$ 关于 $AC$ 的对称点为 $I'$．因为线段 $IJ$ 与 $CF$ 互相平分，所以，四边形 $CJFI$ 为平行四边形．由于 $\angle FI'C=\angle FIC=\angle FJC$，于是，点 $I'$ 在圆 $\Gamma$ 上．从而，$EI'=EB$．
由 $AC$ 为 $\angle BDI'$ 的平分线，$DE\perp AC$，得 $DE$ 为 $\angle BDI'$ 的外角平分线．结合 $EI'=EB$，知点 $E$ 在 $\triangle BDI'$ 的外接圆上
因为 $ED\perp AC$，所以，$C$ 关于点 $D$ 的对称点 $F$ 在圆 $\Gamma$ 上．由 $\angle DCI=\angle ICB=\angle CBI$，知直线 $DC$ 与 $\triangle IBC$ 的外接圆切于点 $C$．设 $I$ 关于点 $D$ 的对称点为 $J$．由 $DC\cdot DF=DC^2 =DI\cdot DB=DJ\cdot DB$，知点 $J$ 在圆 $\Gamma$ 上．
设 $I$ 关于 $AC$ 的对称点为 $I'$．因为线段 $IJ$ 与 $CF$ 互相平分，所以，四边形 $CJFI$ 为平行四边形．由于 $\angle FI'C=\angle FIC=\angle FJC$，于是，点 $I'$ 在圆 $\Gamma$ 上．从而，$EI'=EB$．
由 $AC$ 为 $\angle BDI'$ 的平分线，$DE\perp AC$，得 $DE$ 为 $\angle BDI'$ 的外角平分线．结合 $EI'=EB$，知点 $E$ 在 $\triangle BDI'$ 的外接圆上
【解析】
略
答案
解析
备注
