设 $x,y$ 是正实数，求 $x+y+\dfrac{|x-1|}{y}+\dfrac{|y-1|}{x}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2014年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $f(x,y)=x+y+\frac{|x-1|}{y}+\frac{|y-1|}{x}$．
若 $x\geqslant 1$，$y\geqslant 1$，则 $f(x,y)\geqslant x+y\geqslant 2$；
若 $0<x\leqslant 1$，$0<y\leqslant 1$，
则 $\begin{aligned} f(x, y) &=x+y+\dfrac{1-x}{y}+\dfrac{1-y}{x} \geqslant x+y+1-x+1-y=2 \end{aligned}$
否则，不妨设 $0<x<1<y$，
则
$\begin{aligned} f(x, y) &=x+y+\frac{1-x}{y}+\frac{y-1}{x} =y+\frac{1}{y}+\frac{x y-x}{y}+\frac{y-1}{x} =y+\frac{1}{y}+(y-1)\left(\frac{x}{y}+\frac{1}{x}\right) \geqslant 2 \sqrt{y \cdot \frac{1}{y}}+0 =2 \end{aligned}$
因此对任意 $ x>0 $，$ y>0 $，有 $ f(x,y)\geqslant 2 $．
又 $ f(1,1)=2 $，故所求最小值为 $ 2$．
若 $x\geqslant 1$，$y\geqslant 1$，则 $f(x,y)\geqslant x+y\geqslant 2$；
若 $0<x\leqslant 1$，$0<y\leqslant 1$，
则 $\begin{aligned} f(x, y) &=x+y+\dfrac{1-x}{y}+\dfrac{1-y}{x} \geqslant x+y+1-x+1-y=2 \end{aligned}$
否则，不妨设 $0<x<1<y$，
则
$\begin{aligned} f(x, y) &=x+y+\frac{1-x}{y}+\frac{y-1}{x} =y+\frac{1}{y}+\frac{x y-x}{y}+\frac{y-1}{x} =y+\frac{1}{y}+(y-1)\left(\frac{x}{y}+\frac{1}{x}\right) \geqslant 2 \sqrt{y \cdot \frac{1}{y}}+0 =2 \end{aligned}$
因此对任意 $ x>0 $，$ y>0 $，有 $ f(x,y)\geqslant 2 $．
又 $ f(1,1)=2 $，故所求最小值为 $ 2$．
答案
解析
备注
