给定整数 $n\geqslant 2$，设实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足：
（1）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}x_i =0$；
（2）$|x_i | \leqslant 1$，$i=1,2,\ldots , n$．
求 $\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n-1}|x_i - x_{i+1}|$ 的最大值．
（1）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}x_i =0$；
（2）$|x_i | \leqslant 1$，$i=1,2,\ldots , n$．
求 $\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n-1}|x_i - x_{i+1}|$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2014年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $A=\min_{1\leqslant i\leqslant n-1}|x_i -x_{i+1}|$．当 $n$ 为偶数时，$A$ 的最大值为 $2$；当 $n$ 为奇数时，$A$ 最大值为 $\frac{2n}{n+1}$．
（a）当 $n$ 为偶数时，由条件（2）可知对 $1\leqslant i\leqslant n-1$，有 $
\left|x_{i}-x_{i+1}\right| \leqslant\left|x_{i}\right|+\left|x_{i+1}\right| \leqslant 2
$，从而 $A\leqslant 2$；取 $x_i = (-1)^i$，$i=1,2,\ldots ,n$，满足条件（1），（2），且 $A=2$．因此 $A$ 最大值为 $2$．
（b）当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k+1$．
若存在 $i$ 使得 $x_i \leqslant x_{i+1}\leqslant x_{i+2}$ 或 $x_i \geqslant x_{i+1}\geqslant x_{i+2}$，则由 $A\leqslant |x_i - x_{i+1}|$，$A\leqslant |x_{i+1}-x_{i+2}|$ 可知 $2A\leqslant |x_{i+2}-x_i |\leqslant 2$，于是 $A\leqslant 1<\frac{2n}{n+1}$；
否则，可不妨设 $x_{2i-1}>x_{2i},x_{2i}<x_{2i+1}$，$i=1,2,\ldots,k$，于是有
$\begin{aligned}
(2 k+2) A & \leqslant \sum_{i=1}^{k}\left(\left|x_{2 i-1}-x_{2 i}\right|+\left|x_{2 i}-x_{2 i+1}\right|\right)+\left( \left| x_{1}- x_{2}|+| x_{2 k}-x_{2 k+1} \right| \right) \\
&= \sum_{i=1}^{k}\left(x_{2 i-1}-x_{2 i}+x_{2 i+1}-x_{2 i}\right)+\left(x_{1}-x_{2}+x_{2 k+1}-x_{2 k} \right) \\
&=2 \sum_{i=1}^{k+1} x_{2 i-1}-2 \sum_{i=1}^{k} x_{2 i}-x_{2}-x_{2 k} \\
&<-4 \sum_{i=1}^{k} x_{2 i}-x_{2}-x_{2 k} \\
& \leqslant 4 k+2
\end{aligned}$
即 $A\leqslant\dfrac{4k+2}{2k+2}=\dfrac{2n}{n+1}$．取 $
x_{i}=\left\{\begin{aligned}&\dfrac{k}{k+1}, &&~~i=1,3, \ldots, 2 k+1 \\ &-1, &&~~i=2,4, \ldots, 2 k\end{aligned}\right.
$
则容易验证此数列满足条件（1），（2），且 $A=\dfrac{2k+1}{k+1}=\dfrac{2n}{n+1}$．
因此 $A$ 的最大值为 $\dfrac{2n}{n+1}$．
（a）当 $n$ 为偶数时，由条件（2）可知对 $1\leqslant i\leqslant n-1$，有 $
\left|x_{i}-x_{i+1}\right| \leqslant\left|x_{i}\right|+\left|x_{i+1}\right| \leqslant 2
$，从而 $A\leqslant 2$；取 $x_i = (-1)^i$，$i=1,2,\ldots ,n$，满足条件（1），（2），且 $A=2$．因此 $A$ 最大值为 $2$．
（b）当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k+1$．
若存在 $i$ 使得 $x_i \leqslant x_{i+1}\leqslant x_{i+2}$ 或 $x_i \geqslant x_{i+1}\geqslant x_{i+2}$，则由 $A\leqslant |x_i - x_{i+1}|$，$A\leqslant |x_{i+1}-x_{i+2}|$ 可知 $2A\leqslant |x_{i+2}-x_i |\leqslant 2$，于是 $A\leqslant 1<\frac{2n}{n+1}$；
否则，可不妨设 $x_{2i-1}>x_{2i},x_{2i}<x_{2i+1}$，$i=1,2,\ldots,k$，于是有
$\begin{aligned}
(2 k+2) A & \leqslant \sum_{i=1}^{k}\left(\left|x_{2 i-1}-x_{2 i}\right|+\left|x_{2 i}-x_{2 i+1}\right|\right)+\left( \left| x_{1}- x_{2}|+| x_{2 k}-x_{2 k+1} \right| \right) \\
&= \sum_{i=1}^{k}\left(x_{2 i-1}-x_{2 i}+x_{2 i+1}-x_{2 i}\right)+\left(x_{1}-x_{2}+x_{2 k+1}-x_{2 k} \right) \\
&=2 \sum_{i=1}^{k+1} x_{2 i-1}-2 \sum_{i=1}^{k} x_{2 i}-x_{2}-x_{2 k} \\
&<-4 \sum_{i=1}^{k} x_{2 i}-x_{2}-x_{2 k} \\
& \leqslant 4 k+2
\end{aligned}$
即 $A\leqslant\dfrac{4k+2}{2k+2}=\dfrac{2n}{n+1}$．取 $
x_{i}=\left\{\begin{aligned}&\dfrac{k}{k+1}, &&~~i=1,3, \ldots, 2 k+1 \\ &-1, &&~~i=2,4, \ldots, 2 k\end{aligned}\right.
$
则容易验证此数列满足条件（1），（2），且 $A=\dfrac{2k+1}{k+1}=\dfrac{2n}{n+1}$．
因此 $A$ 的最大值为 $\dfrac{2n}{n+1}$．
答案
解析
备注
