对平面上有 $100$ 条直线．用 $T$ 表示由这些直线中的某三条直线围成的直角三角形的集合．求 $|T|$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2015年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
$|T|_{\max}=62 500$．
先证明直角三角形的个数不超过 $62500$．
任取一条直线，将所有与之平行的直线组成的集合记为 $A_1$（包括这条直线本身），所有与之垂直的直线组成的集合记为 $B_1$（若不存在直线与之垂直，
则 $B=\varnothing$）．此时从剩下的直线中任取一条，将所有与之平行的直线的集合记为 $A_2$，所有与之垂直的直线组成的集合记为 $B_2$．再考虑剩下的直线，类似定义 $A_3 , B_3 , \ldots$．于是这 $100$ 条直线被分成彼此不交的集合 $A_1 , B_1 , A_2 , B_2 , \ldots , A_k , B_k$．
设 $|A_i |=a_i , |B_i |=b_i$（$1\leqslant i\leqslant k$），则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{k}(a_i + b_i )=100$．
注意每个直角三角形的三边必为一组互相垂直的直线和另一条与前者不平行或垂直的直线，
故所有直角三角形的总个数不超过 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{k}a_i b_i (100-a_i -b_i )$．
而
$\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}\left(100-a_{i}-b_{i}\right) \\ \leqslant & \sum_{i=1}^{k} \frac{\left(a_{i}+b_{i}\right)^{2}}{4} \cdot\left(100-a_{i}-b_{i}\right) \\ =&\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{k}\left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot\left[\left(a_{i}+b_{i}\right)\left(100-a_{i}-b_{i}\right)\right] \\ \leqslant &\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{k}\left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot \frac{\left[\left(a_{i}+b_{i}\right)+\left(100-a_{i}-b_{i}\right)\right]^{2}}{4} \\ =&625 \cdot \sum_{i=1}^{k}\left(a_{i}+b_{i}\right) \\ =&62500 \end{aligned}$
下面给出 $62500$ 个直角三角形的具体构造：
在坐标平面上取 $100$ 条直线分别为 $x=1,x=2,\ldots,x=25$；$y=1,y=2,\ldots,y=25$；$y=x+26,y=x+27,\ldots,y=x+50$；$y=-x+101,y=-x+102,\ldots,y=-x+125$．
此时，这 $100$ 条直线分为 $4$ 组，每组 $25$ 条相互平行，倾斜角分别为 $90^{\circ},0^{\circ},45^{\circ},135^{\circ}$．易知前两组直线相互垂直，后两组直线也相互垂直，且任意三线不共点．
故此时直角三角形的总个数等于 $25\times 25\times 50+25\times 25\times 50=62500$．
综上，所求最大值为 $62500$．
先证明直角三角形的个数不超过 $62500$．
任取一条直线，将所有与之平行的直线组成的集合记为 $A_1$（包括这条直线本身），所有与之垂直的直线组成的集合记为 $B_1$（若不存在直线与之垂直，
则 $B=\varnothing$）．此时从剩下的直线中任取一条，将所有与之平行的直线的集合记为 $A_2$，所有与之垂直的直线组成的集合记为 $B_2$．再考虑剩下的直线，类似定义 $A_3 , B_3 , \ldots$．于是这 $100$ 条直线被分成彼此不交的集合 $A_1 , B_1 , A_2 , B_2 , \ldots , A_k , B_k$．
设 $|A_i |=a_i , |B_i |=b_i$（$1\leqslant i\leqslant k$），则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{k}(a_i + b_i )=100$．
注意每个直角三角形的三边必为一组互相垂直的直线和另一条与前者不平行或垂直的直线，
故所有直角三角形的总个数不超过 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{k}a_i b_i (100-a_i -b_i )$．
而
$\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}\left(100-a_{i}-b_{i}\right) \\ \leqslant & \sum_{i=1}^{k} \frac{\left(a_{i}+b_{i}\right)^{2}}{4} \cdot\left(100-a_{i}-b_{i}\right) \\ =&\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{k}\left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot\left[\left(a_{i}+b_{i}\right)\left(100-a_{i}-b_{i}\right)\right] \\ \leqslant &\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{k}\left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot \frac{\left[\left(a_{i}+b_{i}\right)+\left(100-a_{i}-b_{i}\right)\right]^{2}}{4} \\ =&625 \cdot \sum_{i=1}^{k}\left(a_{i}+b_{i}\right) \\ =&62500 \end{aligned}$
下面给出 $62500$ 个直角三角形的具体构造：
在坐标平面上取 $100$ 条直线分别为 $x=1,x=2,\ldots,x=25$；$y=1,y=2,\ldots,y=25$；$y=x+26,y=x+27,\ldots,y=x+50$；$y=-x+101,y=-x+102,\ldots,y=-x+125$．
此时，这 $100$ 条直线分为 $4$ 组，每组 $25$ 条相互平行，倾斜角分别为 $90^{\circ},0^{\circ},45^{\circ},135^{\circ}$．易知前两组直线相互垂直，后两组直线也相互垂直，且任意三线不共点．
故此时直角三角形的总个数等于 $25\times 25\times 50+25\times 25\times 50=62500$．
综上，所求最大值为 $62500$．
答案
解析
备注
