设凸四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$，$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$．
证明：对 $a,b,c,d$ 的任意一个排列 $x,y,z,w$，有 $S\leqslant\dfrac{1}{2}(xy+zw)$
证明：对 $a,b,c,d$ 的任意一个排列 $x,y,z,w$，有 $S\leqslant\dfrac{1}{2}(xy+zw)$
【难度】
【出处】
2015年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
凸四边形 $ABCD$ 的边长 $a,b,c,d$ 的排列有 $4!=24$（种），事实上由边长 $x,y$ 是否相邻，我们只须考虑如下两种情况：
（1）若 $x,y$ 是凸四边形 $ABCD$ 的相邻的两边长，不失一般性，只须证明 $S\leqslant\dfrac{1}{2}(ab+cd)$．注意到
$\begin{array}{l}{S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2} A B \cdot B C \sin \angle A B C \leqslant \dfrac{1}{2} a b} \\ {S_{\Delta C D A}=\dfrac{1}{2} C D \cdot D A \sin \angle C D A \leqslant \dfrac{1}{2} c d}\end{array}$
故 $S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CDA}\leqslant\dfrac{1}{2}(ab+cd)$．
（2）若 $x,y$ 是凸四边形 $ABCD$ 的两相对边的长，只须证明 $S\leqslant \dfrac{1}{2}(ac+bd)$
设点 $A$ 关于 $BD$ 的中垂线的对称点为 $A'$．
则
$ S_{A B C D}=S_{A B C D} =S_{\triangle A B C}+S_{\triangle C D A^{\prime}} \\ \leqslant \dfrac{1}{2} A^{\prime} B \cdot B C+\dfrac{1}{2} C D \cdot D A^{\prime} \\ =\dfrac{1}{2} A D \cdot B C+\dfrac{1}{2} C D \cdot A B \\ =\dfrac{1}{2}(a c+b d) $
由（1），（2）可知原问题成立．
（1）若 $x,y$ 是凸四边形 $ABCD$ 的相邻的两边长，不失一般性，只须证明 $S\leqslant\dfrac{1}{2}(ab+cd)$．注意到
$\begin{array}{l}{S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2} A B \cdot B C \sin \angle A B C \leqslant \dfrac{1}{2} a b} \\ {S_{\Delta C D A}=\dfrac{1}{2} C D \cdot D A \sin \angle C D A \leqslant \dfrac{1}{2} c d}\end{array}$
故 $S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CDA}\leqslant\dfrac{1}{2}(ab+cd)$．
（2）若 $x,y$ 是凸四边形 $ABCD$ 的两相对边的长，只须证明 $S\leqslant \dfrac{1}{2}(ac+bd)$
设点 $A$ 关于 $BD$ 的中垂线的对称点为 $A'$．
则
$ S_{A B C D}=S_{A B C D} =S_{\triangle A B C}+S_{\triangle C D A^{\prime}} \\ \leqslant \dfrac{1}{2} A^{\prime} B \cdot B C+\dfrac{1}{2} C D \cdot D A^{\prime} \\ =\dfrac{1}{2} A D \cdot B C+\dfrac{1}{2} C D \cdot A B \\ =\dfrac{1}{2}(a c+b d) $
由（1），（2）可知原问题成立．
答案
解析
备注
