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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19458 5d2fecca210b280220ed63e9 高中 解答题 自招竞赛 求最小的正整数 $m$，使得对任意大于 $3$ 的质数 $p$，都有 $105|9^{p^{2}}-29^{p}+m$ 2022-04-17 19:46:50
19457 5d3124e7210b280220ed64dc 高中 解答题 自招竞赛 已知 $0<x, y<1$，求 $\dfrac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$ 的最大值． 2022-04-17 19:46:50
19456 5d31266b210b280220ed64ef 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $M \subseteq\{1,2, \cdots, 2011\}$，满足：在 $M$ 的任意三个元素中，都可以找到两个元素 $a、b$，使得 $a|b$ 或 $b|a$．求 $|M|$ 的最大值（其中 $|M|$ 表示集合 $M$ 的元素个数）． 2022-04-17 19:46:50
19455 5d312923210b28021fc78949 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 2$．
（1）求证：可以将集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的所有子集适当地排列为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^n}$，使得 $A_i$ 与 $A_{i+1}$ 的元素个数恰相差 $ 1$，其中 $i=1,2, \cdots, 2^{n}$ 且 $A_{2^{n}+1}=A_{1}$；
（2）对于满足（1）中条件的子集 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^n}$，求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2^n}(-1)^iS(A_i)$ 的所有可能值，其中 $\displaystyle S(A_i)=\sum\limits_{x\in A_i}x,S(\varnothing)=0$．		 2022-04-17 19:46:50
19454 5d315064210b28021fc78962 高中 解答题 自招竞赛 如图线段 $AB、CD$ 是 $\odot O$ 中长度不相等的两条弦，$AB$ 与 $CD$ 的交点为 $E$，$\odot I$ 内切 $\odot O$ 于点 $F$，且分别与弦相切于点 $G、H$．过点 $O$ 的直线分别交 $AB、CD$ 于点 $P、Q$，使得 $EP= EQ$．直线 $EF$ 与直线 $ l$ 交于点 $M$，求证：过点 $M$ 且与 $AB$ 平行的直线是 $\odot O$ 的切线． 2022-04-17 19:46:50
19453 5d31554d210b280220ed6523 高中 解答题 自招竞赛 是否存在奇数 $n\geqslant 3$ 及 $n$ 个互不相同的质数 $p_1,p_2,\cdots,p_n$，使得 $p_{i}+p_{i+1}$（$i=1,2,\cdots,n$，其中 $p_{n+1}=p_1$）都 是完全平方数？请证明你的结论． 2022-04-17 19:45:50
19452 5d3158d9210b280220ed652f 高中 解答题 自招竞赛 设 $a, b, c>0$，求证：$\begin{aligned} \frac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}+& \frac{(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}+\frac{(c-a)^{2}}{(b+c)(b+a)} \geqslant \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \end{aligned}$ 2022-04-17 19:45:50
19451 5d316109210b28021fc78980 高中 解答题 自招竞赛 如图在 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，内切圆 $\odot I$ 与边 $BC、CA、AB$ 分别相切于点 $D、E,F,M$ 是边 $BC$ 的中点，$AH\bot BC$ 于点 $H$．$\angle BAC$ 的平分线 $AI$ 分别与直线 $DE、DF$ 交于点 $K、L$．求证：$M、L、H、K$ 四点共圆． 2022-04-17 19:44:50
19450 5d3165a9210b28021fc7898a 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整数对 $(a,b)$，使得对任意正整数 $n$，都有 $n| (a^n十b^{n+1})$． 2022-04-17 19:44:50
19449 5d315351210b280220ed6514 高中 解答题 自招竞赛 已知 $P(n)=n^2 +n+1$．对于任意正整数 $a,b$，若集合$$\{P(a),P(a+1),P(a+2),\ldots,P(a+b)\}$$的每个元素均与其他元素的乘积不互素，则称此集合为"芳香的"．求芳香集合中元素个数的最小值． 2022-04-17 19:43:50
19448 5d317b33210b280220ed6565 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $a$ 不为完全平方数．设$$\begin{aligned}A&=\left\{\left.k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}} ~\right|~ x,y \in \mathbb{Z}, x>\sqrt{a}\right\} \\ B&=\left\{\left.k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}} ~\right|~ x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leqslant x<\sqrt{a}\right\}\end{aligned}$$证明：$A=B$． 2022-04-17 19:42:50
19447 5d318209210b280220ed656c 高中 解答题 自招竞赛 求所有函数 $f:\mathbb{Z}_{+}\rightarrow\mathbb{Z}_{+}$，使得对于所有正整数 $m,n$，均有 $f(m)+f(n)-mn$ 非零，且整除 $mf(m)+nf(n)$． 2022-04-17 19:42:50
19446 5d318e42210b280220ed6572 高中 解答题 自招竞赛 求满足下述性质的所有次数为奇数 $d$ 的整系数多项式 $P(x)$：对每个正整数 $n$，存在 $n$ 个不同的正整数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$，使得对于每对下标 $i,j$（$1\leqslant i,j\leqslant n$），均有 $\frac{1}{2}<\frac{P(x_i )}{P(x_j )}<2$，且 $\frac{P(x_i )}{P(x_j )}$ 为有理数的 $d$ 次幂． 2022-04-17 19:41:50
19445 5d3519de210b280220ed6583 高中 解答题 自招竞赛 设 $m、k$ 为给定的非负整数，$p= 2^{2^m} + 1$ 为素数，求证：
（1）$2^{2^{m+1} p^{2}} \equiv 1\left(\bmod p^{k+1}\right)$；
（2）满足同余方程 $2^{n} \equiv 1\left(\bmod p^{k+1}\right)$ 的最小正整数 $n$ 为 $2^{m+1} p^{k}$．		 2022-04-17 19:40:50
19444 5d351c3c210b28021fc789a4 高中 解答题 自招竞赛 如图 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C,D$ 是圆周上异于 $A、B$ 且在 $AB$ 同侧 的两点，分别过点 $C、D$ 作圆的切线，它们相交于点 $E$，线段 $AD$ 与 $BC$ 的交点为 $F$，直线 $EF$ 与 $AB$ 相交于点 $M$，求证：$E,C,M,D$ 四点共圆． 2022-04-17 19:40:50
19443 5d352031210b28021fc789b6 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数 $n$，使得集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 有 $n$ 个两两不同的三元子集 $A_1,A_2,\cdots,A_n$，满足对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，都有 $|A_i \bigcap A_j| \ne1$． 2022-04-17 19:39:50
19442 5d352403210b28021fc789c8 高中 解答题 自招竞赛 设非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 与 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 同时满足以下条件：
（1）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)=1$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} i\left(a_{i}-b_{i}\right)=0$
（3）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} i^{2}\left(a_{i}+b_{i}\right)=10$
求证：对任意 $l\leqslant k\leqslant n$，都有 $\max \left\{a_{k}, b_{k}\right\} \leqslant \dfrac{10}{10+k^{2}}$．		 2022-04-17 19:39:50
19441 5d35268b210b28021fc789d4 高中 解答题 自招竞赛 设 $k$ 为大于 $1$ 的整数，数列 $\{a_n\}$ 定义如下：$a_{0}=0, a_{1}=1, a_{n+1}=k a_{n}+a_{n-1}, n=1,2, \cdots$．求所有满足如下条件的 $k$：存在非负整数 $l、m(l\ne m)$，及正整数 $p、q$，使得 $a_{l}+k a_{p}=a_{m}+ka_q$． 2022-04-17 19:38:50
19440 5d353380210b280220ed65da 高中 解答题 自招竞赛 如图在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$．以 $B$ 为圆心、$BC$ 为半径作圆，点 $D$ 在 边 $AC$ 上，直线 $DE$ 切 $\odot B$ 于点 $E$．过点 $C$ 垂直于 $AB$ 的直线与直线 $BE$ 交于点 $F$，$AF$ 交 $DE$ 于点 $G$，作 $AH\parallel BG$ 交 $DE$ 于点 $H$．求证：$GE= GH$． 2022-04-17 19:37:50
19439 5d3546f4210b280220ed6607 高中 解答题 自招竞赛 有 $n(n\geqslant 3)$ 名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场．如果选手 $A$ 的手下败将不都是 $B$ 的手下败将，则称 $A$ 不亚于 $B$．试求所有可能的 $n$，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚千其他任何一名选手． 2022-04-17 19:36:50
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