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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19438 5d354d44210b28021fc78a0d 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整数 $k$，使得存在正整数 $a$ 和 $b$，满足 $\dfrac{b+1}{a}+\dfrac{a+1}{b}=k$． 2022-04-17 19:35:50
19437 5d35794b210b280220ed6673 高中 解答题 高中习题 设曲线 $y=a^2 x$ 和 $y=x(b-x)^2$（$0<a<b$）交于点 $O,P,Q$，其中 $O$ 是原点，$P$ 的横座标小于 $Q$ 的横座标．求出 $P,Q$ 的坐标，并且画出这两条曲线的大致图形．
证明 $P$ 点处曲线 $y=x(b-x)^2$ 的切线为$$y=a(3a-2b)x+2a(b-a)^2$$设这条切线交 $y$ 轴于 $R$ 点．记由这两条曲线和线段 $OP$ 围成的面积为 $S$，证明：$$S=\frac{1}{12}(b-a)^3 (3a+b)$$记 $T$ 为 $\triangle OPR$ 的面积，
证明 $S>\frac{1}{3}T$．		 2022-04-17 19:34:50
19436 5d357b3e210b280220ed6679 高中 解答题 高中习题 若 $x=\log_b c$，请将 $c$ 用 $x$ 和 $b$ 表达出来，并且证明 $\frac{\log_a c}{\log_a b}=\log_b c$．
（i）已知 $\pi^2 <10$，求证$$\frac{1}{\log_2 \pi}+\frac{1}{\log_5 \pi}>2$$（ii）已知 $\log_2 \frac{\pi}{e}>\frac{1}{5}$ 且 $e^2 <8$，求证 $\ln \pi>\frac{17}{15}$．
（iii）已知 $e^3 >20$，$\pi^2 <10$ 且 $\log_{10}2>\frac{3}{10}$，求证 $\ln \pi<\frac{15}{13}$．		 2022-04-17 19:34:50
19435 5d357bba210b280220ed6680 高中 解答题 高中习题 实数 $a>0$，点 $R,S$ 的坐标分别为 $(-a,0)$ 和 $(2a,0)$．设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，其中 $y>0$ 且 $x<2a$．记 $\angle PRS=\alpha$，$\angle PSR=\beta$．
（i）证明若 $\beta=2\alpha$，则 $P$ 落在曲线 $y^2 = 3(x^2 -a^2 )$ 上．
（ii）若 $P$ 在曲线 $y^2 = 3(x^2 -a^2 )$ 上，试找出所有 $\alpha$ 和 $\beta$ 之间的关系（$0<\alpha<\pi$）．		 2022-04-17 19:33:50
19434 5d357c37210b28021fc78a57 高中 解答题 高中习题 函数 $f$ 定义为：$$f(x)=\frac{1}{x\ln x}(1-(\ln x)^2 )^2 ~~~~(x>0,~x\neq 1)$$证明，当 $(\ln x)^2 =1$ 时，我们有 $f(x)=0$ 且 $f'(x)=0$．
函数 $F$ 定义为$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
&\int_{1/e}^{\infty}f(t)\mathrm{d}t,~&&\text{若}0<x<1\\
&\int_{e}^{\infty}f(t)\mathrm{d}t,~&&\text{若}x>1
\end{aligned}\right.$$（i）化简 $F(x)$ 并证明：$F(x^{-1})=F(x)$．
（ii）画出曲线 $y=F(x)$ 的大致图像．		 2022-04-17 19:33:50
19433 5d357cc7210b280220ed6689 高中 解答题 高中习题 （i）写出一个四次的多项式，使得该多项式在除以 $(x-1),(x-2),(x-3),(x-4)$ 的时候都余 $1$．
（ii）若多项式 $P(x)$ 为一个 $N$ 次多项式（$N\geqslant 1$），且满足$$P(1)=P(2)=\ldots=P(N)=1$$证明：$P(N+1)\neq 1$．
若 $P(N+1)=2$，求出一般的 $P(N+r)$，$r\in\mathbb{Z}_{+}$ 为一个正整数．另外，找出一个与 $N$ 无关的 $r$，使得 $P(N+r)=N+r$．
（iii）若 $S(x)$ 是一个整系数的四次首一多项式且满足$$S(a)=S(b)=S(c)=S(d)=2001$$其中 $a,b,c,d$ 是四个互不相同的整数．
（a）证明：不存在整数 $e$ 使得 $S(e)=2018$．
（b）若 $S(0)=2017$，找出 $a,b,c,d$ 应该满足的条件（此时假设 $a<b<c<d$）．		 2022-04-17 19:33:50
19432 5d357d93210b280220ed668f 高中 解答题 高中习题 用积化和差公式$$2\sin P\sin Q=\cos(Q-P)-\cos(Q+P)$$证明$$2\sin\theta(\sin\theta+\sin 3\theta+\ldots+\sin (2n-1)\theta)=1-\cos 2n\theta$$（i）设 $A_n$ 是如下一系列条状长方形的面积之和：注意其中曲线过每一个条状长方形顶边的中点．证明：$$A_n \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)=\frac{\pi}{n}$$（ii）设 $B_n$ 是如下一系列条状直角梯形（或三角形）的面积之和：证明：$$B_n \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)=\frac{\pi}{n}\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)$$（iii）证明：$$\frac{1}{2}\left(A_{n}+B_{n}\right)=B_{2 n}$$以及$$A_{n} B_{2 n}=A_{2 n}^{2}$$ 2022-04-17 19:33:50
19431 5d357e7a210b28021fc78a5d 高中 解答题 高中习题 （i）在三次方程 $x^3 -3pqx+pq(p+q)=0$，其中 $p,q$ 是两个不同的实数，使用变量代换$$x=\frac{pz+q}{z+1}$$将原方程化简为 $az^3 +b=0$，并写出 $a,b$ 在 $p,q$ 下的表达式．
（ii）证明三次方程 $x^3 -3cx+d=0$（$c,d$ 为实数）可以写成 $x^3 - 3pqx+pq(p+q)=0$ 的形式当且仅当 $d^2 >4c^3$，其中 $p,q$ 是不同的实数．
（iii）解出三次方程 $x^3 +6x-2=0$ 的实解．
（iv）解三次方程 $x^3 -3p^2 x+2p^3 =0$，并给出方程 $x^3 -3cx+d=0$ 在条件 $d^2 =4c^3$ 下的通解．		 2022-04-17 19:32:50
19430 5d357f35210b280220ed669a 高中 解答题 高中习题 设函数 $s$ 和 $c$ 满足 $s(0)=0$，$c(0)=1$，且$$s'(x)=c(x)^2 ,~c'(x)=-s(x)^2$$（我们可假定这四个条件定义出来的 $s$ 和 $c$ 是唯一的）
（i）证明 $s(x)^3 + c(x)^3$ 是一个常数，并由条件确定这个常数是 $1$．
（ii）证明：$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(s(x)c(x)\right)=2c(x)^3 -1$$并写出 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{s(x)}{c(x)}\right)$ 关于 $c(x)$ 的表达式．
（iii）计算如下两个不定积分：$$\int s(x)^2 \mathrm{d}x$$$$\int s(x)^5 \mathrm{d}x$$（iv）设 $s$ 的反函数为 $s^{-1}$，使用变量替换 $u=s(x)$ 证明$$\int \frac{1}{(1-u^3 )^{\frac{2}{3}}}\mathrm{d}u = s^{-1}(u)+C$$其中 $C$ 是常数．
（v）计算如下两个不定积分：$$\int\frac{1}{(1-u^{3})^{\frac{4}{3}}}\mathrm{d}u$$$$\int(1-u^3 )^{\frac{1}{3}}\mathrm{d}u$$		 2022-04-17 19:32:50
19429 5d35578c210b28021fc78a25 高中 解答题 自招竞赛 设 $M$ 是一个由实数集 $R$ 去掉有限个元素后得到的集合．证明：对任意正整数 $n$，都存在 $n$ 次多项式 $f(x)$，使得 $f(x)$ 的所有系数及 $n$ 个实根都属于 $M$． 2022-04-17 19:32:50
19428 5d3558ed210b28021fc78a2a 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 3$，求最小的正整数 $k$，使得存在一个 $k$ 元集合 $A$ 和 $n$ 个两两不同的实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，满足 $x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, \cdots, x_{n-1}+x_{n}, x_{n}+x_{1}$ 均属于 $A$． 2022-04-17 19:31:50
19427 5d356593210b280220ed6652 高中 解答题 自招竞赛 设 $H$ 为锐角 $\triangle ABC$ 的垂心，$D$ 为边 $BC$ 的中点．过点 $H$ 的直线分别交边 $AB、AC$ 于点 $F、E$，使得 $AE=AF$．射线 $DH$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于点 $P$．
求证：$P,A,E,F$ 四点共圆．		 2022-04-17 19:30:50
19426 5d3569f8210b280220ed6666 高中 解答题 自招竞赛 求证：对任意给定的正整数 $k$，总存在无穷多个正整数 $n$，使得 $2^{n}+3^{n}-1,2^{n}+3^{n}-2, \cdots, 2^{n}+3^{n}-k$ 均为合数． 2022-04-17 19:29:50
19425 5d35996f210b280220ed66a1 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1} \in\{5,7\}$ 及当 $k \geqslant 1$ 时 $x_{k+1} \in\left\{5^{x_{k}},7^{x_k}\right\}$．试确定 $x_{2009}$ 的末两位数字的所有可能值． 2022-04-17 19:29:50
19424 5d366ad4210b28021fc78a69 高中 解答题 自招竞赛 设点 $D$ 是锐角 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上一点，以线段 $BD$ 为直径的圆分别交 直线 $AB、AD$ 于点 $X、P$（异于点 $B、D$），以线段 $CD$ 为直径的圆分别交直线 $AC、AD$ 于点 $Y、Q$（异于点 $C、D$）．过 $B$ 点 $A$ 作直线 $PX、QY$ 的垂线，垂足分 别为 $M、N$．
求证：$\triangle AMN\sim \triangle AB C$ 的充分必要条件是直线 $ AD$ 过 $\triangle ABC$ 的外心．		 2022-04-17 19:28:50
19423 5d366dc2210b280220ed66b6 高中 解答题 自招竞赛 有 $n(n>12)$ 个人参加某次数学邀请赛，试卷由 $15$ 个填空题组成，每答对 $ 1$ 题得 $1$ 分，不答或答错得 $ 0$ 分．分析每一 种可能的得分情况，发现：只要其中任意 $12$ 个人得分之和不少于 $36$ 分，则这 $n$ 个人中至少有 $3$ 个人答对了至少 $3$ 个同样的题．求 $n$ 的最小可能值． 2022-04-17 19:28:50
19422 5d366efd210b280220ed66c1 高中 解答题 自招竞赛 实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geqslant 3)$ 满足：$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$，且 $2 a_{k} \leqslant a_{k-1}+a_{k+1}, k=2,3, \cdots, n-1$．求最小的 $\lambda(n)$，使得对所有 $k \in\{1,2, \cdots, n\}$，都有 $\left|a_{k}\right| \leqslant \lambda(n) \cdot \max \left\{\left|a_{1}\right|,\left|a_{n}\right|\right\}$． 2022-04-17 19:27:50
19421 5d3675a6210b280220ed66e7 高中 解答题 自招竞赛 实数数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_{0} \neq 0,1, a_{1}=1-a_{0}, a_{n+1}=1- a_{n}\left(1-a_{n}\right),n=1,2,\cdots$．证明：对任意正整数 $n$，都有 $a_{0} a_{1} \cdots a_{n}\left(\dfrac{1}{a_{0}}+\dfrac{1}{a_{1}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}\right)=1$ 2022-04-17 19:26:50
19420 5d367908210b280220ed66fb 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，其内切圆 $\odot I$ 切边 $BC、CA、AB$ 于点 $D、E,F,P$ 为弧 $EF$（不含点 $D$ 的弧）上一点．设线段 $BP$ 交 $\odot I$ 于另一点 $Q$，直线 $EP、EQ$ 分别交直线 $BC$ 于点 $M、N$ 证明：
（1）$P、F,B、M$ 四点共圆；
（2）$\dfrac{EM}{EN}=\dfrac{BD}{BP}$．		 2022-04-17 19:26:50
19419 5d367b2b210b28021fc78aa6 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $m \geqslant 2, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 都是正整数．证明：存在无
穷多个正整数 $n$，使得数 $a_{1} \cdot 1^{n}+a_{2} \cdot 2^{n}+\cdots+a_{m} \cdot m^{n}$ 都是合数．		 2022-04-17 19:26:50
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