设函数 $f\left(x\right) = \ln \left(1 + x\right) - \dfrac{2x}{x + 2}$，证明：当 $x>0$ 时，$f\left(x\right)>0$；
【难度】
【出处】
2011年高考大纲全国卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为\[\begin{split}f'\left(x\right) & = \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{2\left(x + 2\right) - 2x}{{{{\left(x + 2\right)}^2}}} \\& = \dfrac{{{{\left(x + 2\right)}^2} - 4\left(x + 1\right)}}{{\left(x + 1\right){{\left(x + 2\right)}^2}}} \\& = \dfrac{x^2}{{\left(x + 1\right){{\left(x + 2\right)}^2}}}.\end{split}\]所以当 $x > 0$ 时，$f'\left(x\right) > 0$，即 $f\left(x\right)$ 为增函数．
因为 $f\left(0\right) = 0$，因此当 $x > 0$ 时，$f\left(x\right) > 0$．
因为 $f\left(0\right) = 0$，因此当 $x > 0$ 时，$f\left(x\right) > 0$．
答案
解析
备注
