2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）

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  平面几何

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不失一般性，设 $AB=2$ 。把 $ABCDEF$ 放在平面直角坐标系的第一、二象限，使得 $A=\left( 0, 0 \right)$，$B=\left( 2 ,0 \right)$，则 $C=\left(3 ,\sqrt{3} \right)$，$E=\left( 0, 2\sqrt{3} \right)$，$F=\left( -1 ,\sqrt{3} \right)$，$G=\left(1, 0 \right)$，$H=\left( \frac{5}{2} ,\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ 和 $L=\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，则直线 $AH$ 的方程为 $y=\frac{\sqrt{3}}{5}x$，直线 $FG$ 的方程为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线 $EL$ 的方程为 $y=3\sqrt{3x}+2\sqrt{3}$ 。直线 $AH$ 与 $FG$ 的交点为 $X=\left(\frac{5}{7} ,\frac{\sqrt{3}}{7} \right)$，直线 $EL$ 与 $FG$ 的交点为 $Y=\left( -\frac{3}{7} ,\frac{5\sqrt{3}}{7}\right)$ 。
线段 $XY$ 是小正六边形的一边，两个正六边形的面积比等于边的平方比，也就是
$\frac{{{\left( XY \right)}^{2}}}{2}={{\left(\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( \frac{8}{7} \right)}^{2}}+{{\left(-\frac{4\sqrt{3}}{7} \right)}^{2}}} \right)}^{2}}=\frac{\frac{64}{49}+\frac{48}{49}}{4}=\frac{112}{196}=\frac{4}{7}$，所以 $m+n=11$ 。