题目 对于各项均为正数且各有 $m$ 项的数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，按如下方法定义数列 $\{t_{n}\}:t_{0}=0$，$t_{n}=\begin{cases}t_{n-1}-a_{n}+b_{n},t_{n-1}\geqslant a_{n}\\ b_{n},t_{n-1}<a_{n}\end{cases},(n=1,2,\cdots,m)$，并规定数列 $\{a_{n}\}$ 到 $\{b_{n}\}$ 的“并和”为 $S_{ab}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}+t_{m}$． 问题1 若 $m=3$，数列 $\{a_{n}\}$ 为 $3,7,2$，数列 $\{b_{n}\}$ 为 $5,4,6$，试求出 $t_{1},t_{2},t_{3}$ 的值以及数列 $\{a_{n}\}$ 到 $\{b_{n}\}$ 的“并和”$S_{ab}$； 答案1 $t_1=5$，$t_2=4$，$t_3=8$，$S_{ab}=20$ 解析1 由条件求得，$t_1=5$，$t_2=4$，$t_3=8$．<br/>列表，“并和”$S_{ab}=20$；\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a_{n}&\qquad&3&7&2 \\ \hline b_{n}&\qquad\qquad&5&4&6\\ \hline b_{n}-a_{n}&\qquad\qquad & 2 & -3 & 4\\ \hline t_{n}&0&5&4&8\\ \hline\end{array}\] 备注1 问题2 若 $m=4$，数列 $\{a_{n}\}$ 为 $3,2,3,4$，数列 $\{b_{n}\}$ 为 $6,1,x,y$，且 $S_{ab}=17$，求证：$y\leqslant 5$； 答案2 略 解析2 因为$$S_{ab}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+t_{4}=17,$$所以 $t_{4}=5$．<br/>显然 $t_{n}\geqslant b_{n}$，于是$$y=b_{4}\leqslant t_{4}=5,$$证毕． 备注2 问题3 若 $m=6$，下列给出了数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a_{n} & 7 & 9 & 3 & 13 & 6 & 5\\ \hline b_{n} & 4 & 12 &1& 11 & 8 &10\\ \hline\end{array}\]如果表格中列（整列）的顺序可以任意排列，每种排列都有相应的"并和" $S_{ab}$，试求 $S_{ab}$ 的最小值，并说明理由． 答案3 $51$ 解析3 根据题意，$$t_{n}-t_{n-1}\geqslant b_{n}-a_{n},$$且当 $m=1$ 时，$t_{1}\geqslant b_{1}$．<br/>因此当 $(a_{1},b_{1})$ 取第 $i$ 列的值时，$t_{6}$ 可能的最小值为其余各列中 $b_{n}-a_{n}$ 的值之和加上该列的 $b_{n}$ 的值．\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a_{n}&7&9&3&13&6&5\\ \hline b_{n}&4&12&1&11&8&10\\ \hline b_{n}-a_{n}&-3&3&-2&-2&2&5\\ \hline t_{6}\text{可能的最小值}&10&12&6&16&9&8\\ \hline\end{array}\]<case>情形一</case> 若 $(a_{1},b_{1})=(3,1)$，则 $t_{1}=1$，此时无论 $(a_{2},b_{2})$ 取任何一列的值，都会使得 $t_{6}\geqslant 8$；<br/><case>情形二</case> 若 $(a_{1},b_{1})=(5,10)$，则\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a_{n} & 5 & 9 &13 & 7 & 6 & 3 \\ \hline b_{n} & 10 &12 & 11 &4 & 8 &1 \\ \hline t_{n} & 10 & 13 &11 &8 &10 & 8 \\ \hline\end{array}\]从而 $t_{6}$ 的最小值为 $8$，因此从 $S_{ab}$ 的最小值为 $51$． 备注3