两个不全等的等腰三角形的各边长度都为整数，且它们的面积相等，周长也相等。这两个三角形的底边长度之比为 $8:7$，求它们共同的周长的最小值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
338
【解析】
令其中一个等腰三角形的底边长为 $8a$，另一个等腰三角形的底边长为 $7a$，其中 $a$ 为正整数。因为两个三角形的面积相等，所以它们相应的高分别为 $7h$ 和 $8h$ 。因为两个三角形的周长相等，由此可得
$8a+2\sqrt{16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}}}=7a+2\sqrt{\frac{49}{4}{{a}^{2}}+64{{h}^{2}}}$，
即
$a+2\sqrt{16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}}}=2\sqrt{\frac{49}{4}{{a}^{2}}+64{{h}^{2}}}$，
后面的等式两边平行，化简可得
${{a}^{2}}+64{{a}^{2}}+196{{h}^{2}}+4a\sqrt{16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}}}=49{{a}^{2}}+256{{h}^{2}}$，
或
$a\sqrt{16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}}}=15{{h}^{2}}-4{{a}^{2}}$，
两边平方，化简可得
${{a}^{2}}\left(16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}} \right)=225{{h}^{4}}-120{{a}^{2}}{{h}^{2}}+16{{a}^{4}}$，
即
$225{{h}^{2}}=169{{a}^{2}}$ 。
所以 $h=\frac{13a}{15}$，它们共同的周长为 $8a+2\sqrt{16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}}}=8a+\frac{218a}{15}$ 。因为周长 $p$ 是关于 $a$ 的递增函数，所以当 $a$ 取得最小值时，$p$ 取得最小值。因为三角形各边长度都为整数，所以 $p$ 也必须是整数。因为218和15没有大于1的公约数，所以 $a$ 的最小值为15。所求的值为 $8\times 15+\frac{218\times 15}{15}=120+218=338$ 。
$8a+2\sqrt{16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}}}=7a+2\sqrt{\frac{49}{4}{{a}^{2}}+64{{h}^{2}}}$，
即
$a+2\sqrt{16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}}}=2\sqrt{\frac{49}{4}{{a}^{2}}+64{{h}^{2}}}$，
后面的等式两边平行，化简可得
${{a}^{2}}+64{{a}^{2}}+196{{h}^{2}}+4a\sqrt{16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}}}=49{{a}^{2}}+256{{h}^{2}}$，
或
$a\sqrt{16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}}}=15{{h}^{2}}-4{{a}^{2}}$，
两边平方，化简可得
${{a}^{2}}\left(16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}} \right)=225{{h}^{4}}-120{{a}^{2}}{{h}^{2}}+16{{a}^{4}}$，
即
$225{{h}^{2}}=169{{a}^{2}}$ 。
所以 $h=\frac{13a}{15}$，它们共同的周长为 $8a+2\sqrt{16{{a}^{2}}+49{{h}^{2}}}=8a+\frac{218a}{15}$ 。因为周长 $p$ 是关于 $a$ 的递增函数，所以当 $a$ 取得最小值时，$p$ 取得最小值。因为三角形各边长度都为整数，所以 $p$ 也必须是整数。因为218和15没有大于1的公约数，所以 $a$ 的最小值为15。所求的值为 $8\times 15+\frac{218\times 15}{15}=120+218=338$ 。
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