我们把具有如下性质的 $3\times 3$ 矩阵定义为“T-网格”：
（1）只有五个元素是1，其余的四个元素是0；
（2）三行、三列、两条主对角线（主对角线是 $\left\{ {{a}_{13}} ,{{a}_{22}}, {{a}_{31}} \right\}$ 和 $\left\{ {{a}_{11}}, {{a}_{22}}, {{a}_{33}} \right\}$）共八条线上至多只有一条线上的三个数是相等的。
求不同的“T-网格”的个数。
（1）只有五个元素是1，其余的四个元素是0；
（2）三行、三列、两条主对角线（主对角线是 $\left\{ {{a}_{13}} ,{{a}_{22}}, {{a}_{31}} \right\}$ 和 $\left\{ {{a}_{11}}, {{a}_{22}}, {{a}_{33}} \right\}$）共八条线上至多只有一条线上的三个数是相等的。
求不同的“T-网格”的个数。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
68
【解析】
注意到从9个元素中选出5个有 $C_{9}^{5}$ 种方法，所以满足条件（1）的 $3\times 3$ 矩阵有126个。我们只要计算满足条件（1）但不满足条件（2）的 $3\times 3$ 矩阵的个数即可，从126中减去它就可以得到所求的结果。
把满足条件（1）但不满足条件（2）的 $3\times 3$ 矩阵分为两组：第一组是矩阵有一行，或一列，或一条对角线上的元素都是1，且有一行，或一列，或一条对角线上的元素都是0；第二组是矩阵的所有行，列和对角线中有两条上面的元素都是1或有两条上面的元素都是0。对于第一组，不可能有一行上的元素都是1而一列或一条对角线上的元素都是0；也不可能有一列上的元素都是1而一行或一条对角线上的元素都是0；也不可能有一条对角线上的元素都是1而一行或一列上的元素都是0。所以第一组的成员只能是有一行的元素为1，一行的元素为0；或一列的元素为1，一列的元素为0。一共有6种方式选择一行或一列为1，接着有2种方式选择一行或一列为0，然后有3种方式填写剩下的三个元素（也就是，110，101或011）。所以第一组有 $6\times 2\times 3=36$ 个矩阵。
根据前面的讨论，在第二组的每个成员中，数字相同的行，列或对角线必须相交。但如果是数字同为0的行，列或对角线相交，则至少需要 $3+3-1=5$ 个0，而矩阵中只有4个0，所以第二组的成员必须是有一行和一列的元素都为1；或有一行或一列和一条对角线上的元素都是1；或两条对角线上的元素都为1。因为数字同为1的行，列或对角线相交必须有5个1，所以矩阵中剩下的元素全为0。第一种类型的矩阵有 $3\times 3=9$ 个，第二种类型的矩阵有 $6\times 2=12$ 个，第三种类型的矩阵有1个。所以第二组的矩阵有 $9+12+1=22$ 个。
把满足条件（1）但不满足条件（2）的 $3\times 3$ 矩阵有 $36+22=58$ 个。所求的“T-网格”有 $126-58=68$ 个。
把满足条件（1）但不满足条件（2）的 $3\times 3$ 矩阵分为两组：第一组是矩阵有一行，或一列，或一条对角线上的元素都是1，且有一行，或一列，或一条对角线上的元素都是0；第二组是矩阵的所有行，列和对角线中有两条上面的元素都是1或有两条上面的元素都是0。对于第一组，不可能有一行上的元素都是1而一列或一条对角线上的元素都是0；也不可能有一列上的元素都是1而一行或一条对角线上的元素都是0；也不可能有一条对角线上的元素都是1而一行或一列上的元素都是0。所以第一组的成员只能是有一行的元素为1，一行的元素为0；或一列的元素为1，一列的元素为0。一共有6种方式选择一行或一列为1，接着有2种方式选择一行或一列为0，然后有3种方式填写剩下的三个元素（也就是，110，101或011）。所以第一组有 $6\times 2\times 3=36$ 个矩阵。
根据前面的讨论，在第二组的每个成员中，数字相同的行，列或对角线必须相交。但如果是数字同为0的行，列或对角线相交，则至少需要 $3+3-1=5$ 个0，而矩阵中只有4个0，所以第二组的成员必须是有一行和一列的元素都为1；或有一行或一列和一条对角线上的元素都是1；或两条对角线上的元素都为1。因为数字同为1的行，列或对角线相交必须有5个1，所以矩阵中剩下的元素全为0。第一种类型的矩阵有 $3\times 3=9$ 个，第二种类型的矩阵有 $6\times 2=12$ 个，第三种类型的矩阵有1个。所以第二组的矩阵有 $9+12+1=22$ 个。
把满足条件（1）但不满足条件（2）的 $3\times 3$ 矩阵有 $36+22=58$ 个。所求的“T-网格”有 $126-58=68$ 个。
答案
解析
备注
