设 $N$ 为具有如下性质的有序对 $\left( A ,B \right)$ 的个数，其中 $A$，$B$ 为非空集合：
（1）$A\bigcup B=\left\{ 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11 ,12 \right\}$；
（2）$A\bigcap B=\varnothing $
（3）$A$ 的元素的个数不是 $A$ 的元素；
（4）$B$ 的元素的个数不是 $B$ 的元素。
求 $N$ 的值。
（1）$A\bigcup B=\left\{ 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11 ,12 \right\}$；
（2）$A\bigcap B=\varnothing $
（3）$A$ 的元素的个数不是 $A$ 的元素；
（4）$B$ 的元素的个数不是 $B$ 的元素。
求 $N$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
772
【解析】
令 $\left|M \right|$ 表示集合 $M$ 中元素的个数。
令 $\left| A \right|=k$ 。由前面两个性质得到 $\left| B \right|=12-k$，因为 $A$，$B$ 非空，所以 $k\ne 0$ 和 $k\ne 12$ 。由后面两个性质得到 $k\notin A$ 和 $12-k\notin B$ 。从而由第一个性质得到 $k\in B$ 和 $12-k\in A$ 。再者，$k\ne 6$，否则 $6\in A\bigcap B$，与第二个性质矛盾。把 $k$ 指定给 $B$，$12-k$ 指定给 $A$ 后，$A$ 中剩下的 $k-1$ 个元素有 $C_{10}^{k-1}$ 种选择，且剩下的 $11-k$ 个元素必须属于 $B$，所以 $\displaystyle N=\left( \sum\limits_{k=1}^{11}{C_{10}^{k-1}} \right)-C_{10}^{5}={{2}^{10}}-252=772$ 。
令 $\left| A \right|=k$ 。由前面两个性质得到 $\left| B \right|=12-k$，因为 $A$，$B$ 非空，所以 $k\ne 0$ 和 $k\ne 12$ 。由后面两个性质得到 $k\notin A$ 和 $12-k\notin B$ 。从而由第一个性质得到 $k\in B$ 和 $12-k\in A$ 。再者，$k\ne 6$，否则 $6\in A\bigcap B$，与第二个性质矛盾。把 $k$ 指定给 $B$，$12-k$ 指定给 $A$ 后，$A$ 中剩下的 $k-1$ 个元素有 $C_{10}^{k-1}$ 种选择，且剩下的 $11-k$ 个元素必须属于 $B$，所以 $\displaystyle N=\left( \sum\limits_{k=1}^{11}{C_{10}^{k-1}} \right)-C_{10}^{5}={{2}^{10}}-252=772$ 。
答案
解析
备注
