求出满足如下条件的整系数二次多项式 $f\left( x \right)$ 的个数；$f\left( x \right)$ 的所有根均为整数且 $f\left( 0 \right)=2010$ 。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
163
【解析】
不妨设 $f\left( x \right)=c\left( x-{{r}_{1}} \right)\left( x-{{r}_{2}}\right)$，则乘积 $c{{r}_{1}}{{r}_{2}}$ 必须等于 $2010=2\times 3\times 5\times 67$，对 $1\leqslant k\leqslant 4$，如果 $c$ 有 $4-k$ 个素因数，则从2010中选出 $k$ 个素因数整除 ${{r}_{1}}{{r}_{2}}$ 一共有 $C_{4}^{k}$ 种选择。在选出的 $k$ 个素因数中，有 ${{2}^{k}}$ 种方式选择整除 ${{r}_{1}}$ 的素因数，剩下的素因数必须整除 ${{r}_{2}}$，通过这种方式得到的每个多项式的根都互不相同，且每组根都被计算了两次，所以不考虑它们的符号的情况下，一共有 $C_{4}^{k}\cdot {{2}^{k-1}}$ 种方式选择两个根。再者，$\left| c {{r}_{1}} {{r}_{2}} \right|$ 中的负数有偶数个。所以有 $C_{3}^{0}+C_{3}^{2}=4$ 种方式给
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{4}{C_{4}^{k}\cdot{{2}^{k}}}=4\times 1+6\times 2+4\times 4+1\times 8=40$ 个 $\left\{\left| c \right| \left| {{r}_{1}} \right| \left| {{r}_{2}} \right|\right\}$ 的中的每一个赋上符号。
最后，如果 $\left| c \right|=2010$，则 $\left| {{r}_{1}} \right|=\left| {{r}_{2}} \right|=1$ 。这种情况下只有三种符号指派方式得到不同的多项式，因为 ${{r}_{1}}=-{{r}_{2}}$ 的两种符号指派方式得到的多项式相同，结合前面的讨论，总共有 $4\times 40+3=163$ 个这样的多项式。
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{4}{C_{4}^{k}\cdot{{2}^{k}}}=4\times 1+6\times 2+4\times 4+1\times 8=40$ 个 $\left\{\left| c \right| \left| {{r}_{1}} \right| \left| {{r}_{2}} \right|\right\}$ 的中的每一个赋上符号。
最后，如果 $\left| c \right|=2010$，则 $\left| {{r}_{1}} \right|=\left| {{r}_{2}} \right|=1$ 。这种情况下只有三种符号指派方式得到不同的多项式，因为 ${{r}_{1}}=-{{r}_{2}}$ 的两种符号指派方式得到的多项式相同，结合前面的讨论，总共有 $4\times 40+3=163$ 个这样的多项式。
答案
解析
备注
