数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1\in (1,2)$，$a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+3a_n$，$n \in \mathbb N^*$，求证：$$(a_1-a_2)(a_3-1)+(a_2-a_3)(a_4-1)+\cdots +(a_n-a_{n+1})(a_{n+2}-1)<\dfrac 14.$$
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+3a_n$，得$$a_{n+1}-1=(a_n-1)^3.$$令 $b_n=a_n-1$，则$$0<b_1<1 , b_{n+1}=b_n^3<b_n,$$所以 $0<b_n<1$，故\[\begin{split}(a_k-a_{k+1})(a_{k+2}-1)&=(b_k-b_{k+1})\times b_{k+2}\\ &=(b_k-b_{k+1})\times b_{k+1}^3 \\ &<\dfrac 14(b_k-b_{k+1})(b_k^3+b_{k}^2b_{k+1} +b_{k} b_{k+1}^2+b_{k+1}^3)\\ &<\dfrac 14(b_k^4-b_{k+1}^4),\end{split}\]因此\[\begin{split} LHS&=(a_1-a_2)(a_3-1)+(a_2-a_3)(a_4-1)+\cdots +(a_n-a_{n+1})(a_{n+2}-1)\\&<\dfrac 14(b_1^4-b_{2}^4)+\dfrac 14(b_2^4-b_{3}^4)+\cdots+\dfrac 14(b_n^4-b_{n+1}^4)\\&=\dfrac 14(b_1^4-b_{n+1}^4)\\&<\dfrac 14b_1^4<\dfrac 14=RHS.\end{split}\]
答案
解析
备注
