若实数 $x,y,z$ 满足 $x+3y+2z=6$，解不等式$$x^2+9y^2-2x-6y+4z\leqslant8.$$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$\left\{(x,y,z) \left| \begin{cases}y=2-\dfrac23z-\dfrac13x,\\3-z-\sqrt{2-(z-1)^2}\leqslant x\leqslant 3-z+\sqrt{2-(z-1)^2},\\ \sqrt2-1\leqslant z\leqslant \sqrt2+1\end{cases}\right.\right\}$
【解析】
将 $2z=6-x-3y$ 代入不等式，得$$x^2+9y^2-2x-6y+2(6-x-3y)\leqslant8,$$整理得$$(x-1)^2+(3y-2)^2\leqslant4,$$于是解集为$$\left\{(x,y,z) \bigg| z=3-\dfrac12x-\dfrac32y,(x-2)^2+(3y-2)\leqslant4\right\}.$$代入即$$\left\{(x,y,z) \left| \begin{cases}y=2-\dfrac23z-\dfrac13x,\\3-z-\sqrt{2-(z-1)^2}\leqslant x\leqslant 3-z+\sqrt{2-(z-1)^2},\\ \sqrt2-1\leqslant z\leqslant \sqrt2+1\end{cases}\right.\right\}$$
答案
解析
备注
