已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $(0,\sqrt 3)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$，直线 $l$ 经过椭圆右焦点 $F$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，点 $A,F,B$ 在直线 $x=4$ 的射影依次为 $D,K,E$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$解析由经过点 $(0,\sqrt 3)$，得 $b=\sqrt 3$，由离心率为 $\dfrac{1}{2}$，得\[e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\dfrac{1}{2},\]得 $a=2$，故得椭圆 $C$ 的方程为 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$．
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连结 $AE,BD$，试探求当直线 $l$ 的倾斜角变化时，直线 $AE$ 与 $BD$ 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则，说明理由．标注答案是，$\left(\dfrac{5}{2},0\right)$，理由略解析当直线 $l$ 的斜率不存在时，直线 $l\perp x$ 轴，则四边形 $ABED$ 为矩形，由对称性知，直线 $AE$ 与 $BD$ 相交于 $FK$ 的中点 $N\left(\dfrac{5}{2},0\right)$，由此猜想直线 $AE$ 与 $BD$ 是相交于定点 $N\left(\dfrac{5}{2},0\right)$．
证明：设 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，$D(4,y_{1})$，$E(4,y_{2})$．直线 $AB$ 的方程为 $y=k(x-1)$，联立椭圆 $C$ 的方程消去 $y$ 得关于 $x$ 的方程\[(3+4k^{2})x^{2}-8k^{2}x+4k^{2}-12=0.\]故得\[x_{1}+x_{2}=\dfrac{8k^{2}}{3+4k^{2}}, x_{1}x_{2}=\dfrac{4k^{2}-12}{3+4k^{2}}.\]又因为\[l_{AE}:y-y_{2}=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{4-x_{1}}(x-4),\]当 $x=\dfrac{5}{2}$ 时，\[\begin{split}y&=k(x_{2}-1)-\dfrac{k(x_{2}-x_{1})}{4-x_{1}}\times \dfrac{3}{2}\\&=\dfrac{5k(x_{1}+x_{2})-2kx_{1}x_{2}-8k}{2(4-x_{1})}\\&=\dfrac{-8k(3+4k^{2})-2k(4k^{2}-12)+5k\cdot 8k^{2}}{2(4-x_{1})(3+4k^{2})}\\&=0.\end{split}\]即点 $N\left(\dfrac{5}{2},0\right)$ 在直线 $l_{AE}$ 上．同理可证，点 $N\left(\dfrac{5}{2},0\right)$ 在直线 $l_{BD}$ 上．所以直线，当直线 $l$ 的倾斜角变化时，直线 $AE$ 与 $BD$ 相交于定点 $N\left(\dfrac{5}{2},0\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
