已知 $a$ 为实数，函数 $f(x)=\left|x^2-ax\right|-\ln x$，请讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
① 当 $a<1$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4,+\infty \right)$ 上单调递增．
② 当 $1\leqslant a\leqslant 2\sqrt 2$ 时，$f(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty)$ 上单调递增．
③ 当 $a>2\sqrt 2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4\right),\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4,a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4,\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4\right)$，$(a,+\infty)$ 上单调递增．
② 当 $1\leqslant a\leqslant 2\sqrt 2$ 时，$f(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty)$ 上单调递增．
③ 当 $a>2\sqrt 2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4\right),\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4,a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4,\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4\right)$，$(a,+\infty)$ 上单调递增．
【解析】
由条件知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$．
（i）若 $a\leqslant 0$，则 $f(x)=x^2-ax-\ln x$，于是\[f'(x)=2x-a-\dfrac 1 x=\dfrac{2x^2-ax-1}x,\]令 $f'(x)=0$，得\[x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2+8}}4<0,x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4>0.\]所以，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4,+\infty \right)$ 上单调递增．
② 若 $a>0$，则 $f(x)=\begin{cases}x^2-ax-\ln x,\quad \text{当}x\geqslant a\text{时},\\-x^2+ax-\ln x, \text{当}0<x<a\text{时}.\end{cases}$
（ii）先讨论 $g(x)=x^2-ax-\ln x(x \geqslant a)$ 的单调性．\[g'(x)=2x-a-\dfrac 1 x=\dfrac{2x^2-ax-1}x.\]令 $g'(x)=0$，得 $x=\dfrac{a+\sqrt {a^2+8}}4>0$．
当 $\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4>a$，即 $a<1$ 时，$g(x)$ 在 $\left(a,\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4,+\infty \right)$ 上单调递增；
当 $\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4\leqslant a$，即 $a\geqslant 1$ 时，$g(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上单调递增．
② 再讨论当 $a>0$ 时，$h(x)=-x^2+ax-\ln x(0<x<a)$ 的单调性．\[h'(x)=-2x+a-\dfrac 1 x=\dfrac{-2x^2+ax-1}x.\]当 $\Delta=a^2-8\leqslant 0$，即 $0<a\leqslant 2\sqrt 2$ 时，$h'(x)\leqslant 0,h(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减；
当 $\Delta=a^2-8>0$，即 $a>2\sqrt 2$ 时，令 $h'(x)=0$，得\[0<x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4<a,0<x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4<a,\]所以 $h(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4\right),\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4,a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4,\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4\right)$ 上单调递增．
综上可得：
① 当 $a<1$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4,+\infty \right)$ 上单调递增．
② 当 $1\leqslant a\leqslant 2\sqrt 2$ 时，$f(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty)$ 上单调递增．
③ 当 $a>2\sqrt 2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4\right),\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4,a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4,\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4\right)$，$(a,+\infty)$ 上单调递增．
（i）若 $a\leqslant 0$，则 $f(x)=x^2-ax-\ln x$，于是\[f'(x)=2x-a-\dfrac 1 x=\dfrac{2x^2-ax-1}x,\]令 $f'(x)=0$，得\[x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2+8}}4<0,x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4>0.\]所以，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4,+\infty \right)$ 上单调递增．
② 若 $a>0$，则 $f(x)=\begin{cases}x^2-ax-\ln x,\quad \text{当}x\geqslant a\text{时},\\-x^2+ax-\ln x, \text{当}0<x<a\text{时}.\end{cases}$
（ii）先讨论 $g(x)=x^2-ax-\ln x(x \geqslant a)$ 的单调性．\[g'(x)=2x-a-\dfrac 1 x=\dfrac{2x^2-ax-1}x.\]令 $g'(x)=0$，得 $x=\dfrac{a+\sqrt {a^2+8}}4>0$．
当 $\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4>a$，即 $a<1$ 时，$g(x)$ 在 $\left(a,\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4,+\infty \right)$ 上单调递增；
当 $\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4\leqslant a$，即 $a\geqslant 1$ 时，$g(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上单调递增．
② 再讨论当 $a>0$ 时，$h(x)=-x^2+ax-\ln x(0<x<a)$ 的单调性．\[h'(x)=-2x+a-\dfrac 1 x=\dfrac{-2x^2+ax-1}x.\]当 $\Delta=a^2-8\leqslant 0$，即 $0<a\leqslant 2\sqrt 2$ 时，$h'(x)\leqslant 0,h(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减；
当 $\Delta=a^2-8>0$，即 $a>2\sqrt 2$ 时，令 $h'(x)=0$，得\[0<x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4<a,0<x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4<a,\]所以 $h(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4\right),\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4,a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4,\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4\right)$ 上单调递增．
综上可得：
① 当 $a<1$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2+8}}4,+\infty \right)$ 上单调递增．
② 当 $1\leqslant a\leqslant 2\sqrt 2$ 时，$f(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty)$ 上单调递增．
③ 当 $a>2\sqrt 2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4\right),\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4,a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}4,\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}4\right)$，$(a,+\infty)$ 上单调递增．
答案
解析
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